En remplaçant dans l'égalité

Lorsque x est réel, les séries 'i'(^), x(^) représentent, comme on sait, les fonctions cos^, sin.r, introduites en Trigonométrie. On pourrait même, si ces dernières fonctions n'avaient pas été introduites antérieurement, prendre ces séries comme définitions de cosx et s\ax; le nombre tz apparaît alors comme étant le double de la plus petite racine positive de l'équation ^[x) =i o ('). On a alors, par définition, pour toute valeur de x réelle ou imaginai re,

s peine que les propriétés établies en Trjgono-

104 IKTBODUCTION.

métrie (formule d'addition, périodicité, elc.) s'étendent facilement aux fonctions sin^, cosx, ainsi définies; nous ne nous y arrêterons pas.

Nous emploierons encore les notations

Toutes ces fonctions admettent des dérivées dont la formation est bien connue et se déduit d'ailleurs de la considération des séries précédentes.

Enfin, si l'on pose

er — s:

et si l'on pratique, dans le plan des x, une coupure allant du point o à l'infini en suivant l'ase des quantités négatives, il existe une infinité de fonctions de x, bolomorphes dans le plan coupé, qui vérifient l'équation précédente quand on les met à la place de y. Pour l'une d'elles, la valeur absolue de la partie imaginaire reste, quel que soit x, inférieure à Tt; c'est la détermination principale de loga^. Toutes les antres solutions de l'équation précédente s'obtiennent en ajoutant à celle-là un multiple entier de a-ict; l'une quelconque d'entre elles vérifie l'équation différentielle

Ces résultats, que l'on obtient d'ailleurs sans aucune diificnlté, sont trop connus pour que nous nous arrêtions à les développer

n étant un entier positif que, pour la cojnmoditc de ce qui va luivre, nous supposerons toujours impair, on a, par l'une des détilitions précédentes,

sl.(^) = lim.e(«t).

yGoosle

FONGl'lOKS TRANSCENDANTES

Les racines de réquation en x sont données nar ia l'ormiile

k étant un entier quelconque. On tire de là.

On aura toutes les valeurs de x en donnant à k les valenrs k étant supjjosé égal à l'un de ces nombres, nous ferons

/(■Tt

,77,,. = m tg — I

d'oi'i l'on voit, puisque est compris entre . et H — , que la

valeur absolue du nombre réel x^ est supérieure à celle de ktz.

Les racines du polynôme 9 (m) n'étant autres que les nombres l'^ft et le coefficient de x, dans ce polynôme développé, étant égal à un, on a

Soit/> un entier positif fixe et posons

(!(;«, = 0i('^)6=('"); nous allons chercher ce que deviennent les deux facteurs do second membre quand m augmente indéfini

k étant fixe et m. augmentant indéfiniment, Xk^ m tg ■ — ■ tenti évidemment vers kiz; on a donc

-'■"-'^'(-i)(-iS)' ■(■-.s.)

et il est clair que 9j(ffï) — -^ — ^ admet aussi une limite, pour m

infini, puisque Q{m) et &i(m) en admettent une. Il est aisé de trouver un nombre supérieur à la valeur absolue de cette limite : si l'on ordonne suivant les puissances de x le polynôme

les coefficients de ces puissances sont réels et positifs; la valeur absolue de ce polynôme est donc au plus égale au nombre positif que l'on obtient en y remplaçant x par \x\; en d'autres termes, on a

la dernière inégalité résultant de ce que \xi!\ est plus grand que Mais en raison de la convergence dvi produit infini

qui résiilte elle-même de la convecgenee de la série

il est clair que, si l'on se donne un nombre positif s arbitrairement petit, on peut lu! faire correspondre un entier positif ?■ tel que,

FONCTIOKS TR.

SOUS la condition jO ^ /■, le dernier membre des inégalités précédentes soit moindre que e. On a donc, sous cette condition,

e , par s,u e, ausbi j ^i^^^^ç^j ,| < ,,

On peut donc écrire, en désignant par e' nne quantité imaginaire dont la valeur absolue est au plus égale à s,

sh3; = lira.e(m) = lim.6,(ni)lim.es(m)