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les produits infinis qui figurent dans les seconds membres de nos formules satisfont aux conditions imposées dans le n° M ; on en conclut la possibilité de développer ces produits infinis en séries entières en x, convergentes dans tout le plan. En identifiant ces séries avec celles qui donnent —~, cosa:, on parvient à une suite d'identités que nous nous contenterons de signaler ; nous retrouverons plus tard, sous une forme plus simple, des identités équivalentes.

En prenant les dérivées logarithmiques (n" 48) de ces produits infinis, on obtient les développements en séries

Ces formules, obtenues aussi par Euler, prêtent à des observations analogues à celles dont les produits infinis viennent d'être l'objet.

Elles sont d'ailleurs contenues dans des formules plus générales dues a Cauchy et qui peuvent s'établir par une analyse élémen-

(') Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, p. 4a.

UONnTiONS TRANSCKiMlANTliS KNElfcllliS.

taire, analogue à celle qui nous a conduits aux expressions de si ou de cosa^, et que nous allons résumer très rapidement.

(j8. Soit X un nombre réel jjositif, au plus égal à un, l' pression

où X est un nombre queleon(|ue, est la limite, pour m îulini, de l'expression

où nous supposerons encore que m doit croître par valeurs entières, positives, impaires.

En décomposant <f{m) en fractions simples, on trouve

m en posant

J7A. = m ig -^^ ,

(-omme H.irT=Bs, on peut écrire

1 peut, supposer a/, positif et moindre que - ; el l'on trouve

puis, k étanl supposé fixu,

|im,Bi = C-i)*cosî,A-7r.

Ceci posé, en désignant par/) un entier fixe, soieni.

l'oiir m infini, 'a{ni) et fpi(''*) ont fîes limites, on en conclut qu'il en est de même de !pa(m), et l'on reconnaît aisément que l'on peut supposer p assez grand pour qn'on puisse écrire l'inégalité

i^-<'»)^< E 7Hf^~'^^f-y

]i. étant un nombi-e fixe plus petit que i ; il résulte de là que, ou désig^nanî par s! un nombre imaginaire qui tend vers zéro quand p augmente indéfiniment, on peut écrire

d'où l'on conclut

1 , y" (-i)«a eos>tj

FOriCTiONS lllAiNSClîMDAM'KS ESTIÈHES.

d'où

Bina, Zl' ' i'-*>™. ,li"-i' ■' j'~Ait

De même

™l,. 'î^ (,.t-.)xoo,(2i-,)^ï ^.2^(-.)' :r^

= lim. 2 (-!)•-' '-

Le changement de a; en ix fournira des expressions analogui pour les foncl-ions

Si l'on remplace, dans les formules précédentes, X par — X, ces formules subsistent ; on peut donc les considérer comme éta- 'blies pour tout nombre réel 7, compris entre — i et + i .

En ajoutant à la série qui représente —. — ~ le produit de i par

la série qui représente —. — '-, on a la relation

112 IXTIIODUCTION.

tjiie l'on peut écrire, en posant ^ ^ t^: el 7.-I

cette reiation est établie pour tout nombre réel positif â pbis petit que l'unité, et pour tout nombre non entier z.

69. Si, dans l'expression qu'où vient d'obtenir pour -'-.'— ^■- , on iail ^ ^^ 1 , on retrouve la formule

qui donne lieu aii\ observations^ suivantes i

Supposons, en désignant par a nn nombre positif plus pclit que Tt, que l'on ail

est alors déveîoppable en une série cotivorgenLc entière en x, savoir

Cette série reste convergente quand on y remplace tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a; sa somme est alors égale à

D'ailleurs, la série à termes positifs y ^__

yGoosle

ro-NCTiOKs tente. La série

se trouve donc dans le cas du n" 38, et il en résulte que la quantité cota; peut être développée en une série entière en œ,

comme il suit.

Posons, en général, r étant un entier pins grand que un,

on aura, sous la condition \x\ <Ct.,

iG-H=i-

Les nombres positifs Ba sont ce que l'on appelle les nombres de .liernoulli. Il est bien remarquable que ces nombres, qui jouissent d'ailleurs de propriétés arithmétiques très intéressantes, soient tous rationnels : ce fait résulte de l'égalité même qui précède, en j remplaçant cot.x par ^-^ — , multipliant par ^x^&mx, substituant y cosiC el sinx leurs développements en séries, effectuant dans le second membre les multiplications de séries et égalant les coefficienls d'une même puissance de ^; on trouve ainsi

) iî«-;,-^l

i.a.3...(..p-Hi)

Il4 INTIiODUCTEON.

d'où successivement

bt) ayjo ti

L'emploi des formules

igm = cot37 — cotaa;,

permet de li'ouver des développements analo^^ues pour l^.r