II. — Théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Lefller
70. Les expressions si remarquables qui donnent sin^, cos^, sons forme de produits infinis, cotiC,,tgx, —. — sous forme de séries dont les termes sont des fractions rationnelles, peuvent être rattachées à des types très généraux, découverts par M. Weierstrass et par M. Mittag-Leffler, et qui conviennent l'un aux fonctions transcendantes entières comme sin^r, l'autre aux fonctions tinivoques dans tout le plan comme tgir.
L'objet du théorème de M, "Weierstrass est de trouver l'espression la plus générale d'une fonction Iransccndanlc cnlicre dont on donne les zéros (' ).
Nous établirons d'abord le lemme suivant :
Soit II un entier positif; l'expression peut être mise sous ia forme d'une série
t-i-dirc les vaIcui-5 de la v
TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Il5
convergente quel qiie soit x et dans laquelle tous les coefficients
a, «1, a,, ..., a^, ... sont réels el plus petits que i en valeur absolue.
Que l'expression ff(a^) puisse être développée en une série entière en x, toujours convergeote, cela résulte immédiate menl du n" 49. On a d'ailleurs, en supposant ] a; ] ■< i ?
inplaçant, dans le développement
on voit dn suite que le développement de a {x) a la forme indiquée plus haut. Il reste à prouver que l'on a
on pourra obtenir les coefficients p en remplaçant, dans le développement de eJ", y par
et l'on voit déjà ainsi qu'ils sont positifs. Il est clair aussi que l'ou remplace j' par la série indéfinie
on obtiendra un développement analogue, mais avec des coefficients plus grands; or ce développement ne sera autre chose que celui de
yGoosle
Il6 IfiTUODlJCIION.
on a donc D'ailleurs
d'où l'on conclut que les coefficients des diverses puissances de t sonl au plus égaus à l'unité, en valeur alisolue. Ce que nous voulions Établir,
Il résulte de là que si, dans la série
on remplace x par un nombre positif ^ plus petit qu coefficients a, a, , . .. ,a/,, ... par leurs valeurs absolues de la série ainsi obtenue sera moindre que
71. Voici maintenant le ibéorème qui est notre objet prlncipal(;).
Soit
une suite de nombres assujettis à cette condition que |a„| augmente indéfiniment avec h, et dont en outre aucun ne soil nul. On peut construire Tine fonction transcendante entière de x qui s'annule pour les valeurs de la suite précédente el seulement pour ces valeurs. En outre, si, dans la suite, il y a p nombres égaux à «„. el pas davantage, a„ sera un zéro d'ordre^ de cette fonction.
On peut, en effet, faire correspondre à chaque indice v un entier positif m^ tel que la série à termes positifs
soil convergente, quel que soi ta:. Il suffira, par exemple, de prendre niv=^ v: la racine v'™" du v'™^ terme de la série précédente aura
( ' ) Weiehstrass, Abliandluiigen ans der Functionenlehre, p, i
j TRANSfiENDANÏIiS ENTIÈRES. 117
alors manifesîcmentzéropoTjr limite quand v augmentera indéfiniment.
Cette correspondance établie, soit
et considérons le prod uit infini
oix les accolades indiquent que la quantité qu'elles comprennent est Hrt/acie«/'duproduitiïifini. Nous allons montrer que ce produit infini est absolument convergent dans tout le plan et qu'il définit une fonction transcendante entière de x.
Soit A un nombre positif quelconque el considérons les valeurs de X pour lesquelles on a
Les nombres \-fi,t[ augmentant indéfinimciit avec n, on peut faire correspondre au nombre A un entier r tel que l'on ait
|«vl>A, sous la condition
nous allons d'abord montrer que le produit infini
satisfait, pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'in aux conditions imposées dans le n" -il, ou plutôt que li
u8 INTRODUCTION.
satisfait aux conditions i" et 2" du n" 38. En effet, on a vu que la série formée par les fonctions Uy{x), quand on y remplace les coefficients des puissances de x par Iciu-s valeurs absolues et ,r par A, a une somme moindre que
à termes positifs
est convergente, puisque, par hypotlièf à termes positifs
2ièr
et que le rapport de deux termes correspondants dans les deux séries a pour limite l'unité quand v augmente indéfiniment.
La nature du produit infini Wr{x) est ainsi liieii mise en évidence ; il peut être remplacé par une série entière en x, convergente pourvu que l'on ait
valeurs, 00 peut prendre la dérivée logarithmique (n° 48); cette dérivée sera, en indiquant les dérivées ordinaires par des accents,
les accolades indiquant toiijours que la quantité qu'elles ■ ferment constitue un terme unique de la série où elle figure.
FONCTIONS TBANSClinDANTES ENTIÈBKS. II9
L'avanL-dernière forme trouvée pour W(~^ rentre dans une forme très générale signalée par M. MitUg-Leffler et que nous développerons bientôt (n" 75).
La dernière forme met en évidence la convergence absolue, prévue par la théorie générale, de la série qui représente la dérivée logarithmique de 'F^ ( œ) : on voit même que cette série, pour les valeurs de x telles que l'on ait
satisfait aux conditions (i") ci (2°) du n" 38; en eiïet, l'cspresïiion
est, pour ces valeurs de œ^ développable en une série entière en x qui, lorsqu'on y remplace les coefficienls par leurs valeurs absolues et x par A, a pour somme
 U J 1 «V 1 - A ' i à termes positifs
est convergente. Par conséquent, la série qui représente ™^^-^ — : peut être mise, pour toutes les valeurs de x considérées, sous forme d'une série entière en x absolument convergente. On peut prendre la dérivée de cette série, terme par terme : on formera ainsi successivement des séries absolument convergentes, pourvu que I ce I soit inférieure à Â.
Rappelons enfin que, pour ces mêmes valeurs de x, les règles de dérivation, soit pour le produit infini, soit pour la dérivée logarithmique, s'appliqueraient aussi bien aux produits infinis déduits de ^r(^) oï" aux séries déduites de celle qui représente ^'" ■ par le groupement des facteurs ou des termes (n°* 38 et 41).
Ces conclusions s'appliquent au produit
ow=n
.^\jHm
qui ne diffère de Wr{x) que par l'adjonction d'ii facteurs dont noiis représenterons le produit par
en sorle que l'on a
età la dérivée logarithmique de G{x), savoir :
On voit d'abord que le produit infini G(^) sera uniformément et absolument convergent pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
