TRANSCENDANTES ENTIÈRES

ries que l'on obtient ainsi sont absolument convergentes pour les valeurs de x non exclues.

Relativement à l'uniformité de la convergence de la série qui représente ^tt-Vj observons que la série qui représente

' est «niformément convergente dans le cercle de rayon  décrit du point o comme centre. En plaçant au commencement de cette série les ternies qui représentent

la seule chose qui puisse troubler l'uniformité de la convergence consiste en ce que, dans cette région, certains des termes ajoutés deviennent discontinus aux points «i, «2, . . ., Or- Si donc on entoure ces points de cercles d'un rayon fixe, arbitrairement petit 3, si l'on supprime du plan les parties intérieures à ces cercles et si l'on décrit du point o comme centre, avec un rayon A, un cercle, la série qui représente

sera \iniforraément convergente dans la portion du plan perforé intérieure à ce cercle. Il en serait de même des séries qui représentent les dérivées successives de cette fonction.

Les mêmes considérations montrent que toutes les fonctions représentées parées diverses séries peuvent être développées en séries entières en a; — x^, convergentes dans tout cercle de centre x^ et auquel sont extérieurs les trous que l'on a pratiqués dans le plan des X autour des points

Enfin, si l'on transforme le produit infini

ISTROBIJCTION.

en un autre produit infini ou en une autre série, en groupant ensemble les facteurs ou les termes, on pourra appliquer les mêmes règles de dérivation au produit infini transformé ou à la série transformée. Quand on ne tient pas compte des r — i premiers facteurs du produit ou des r — i premiers termes de la série, la cliose ressort, comme nous l'avons fait observer plus haut, des n°' 38 et M, lorsque x est intérienr au cercle de rayon A. Mais la présence de ces r — i facteurs ou de ces r — i termes, en nombre fini, ne peut évidemment altérer en rien les conclusions; et, comme A est arbitraire, ces conclusions s'étendent à tout le

Puisque le pi-oduit infini G(a;) est absolument convergent pour toutes les valeurs de x, il ne peut s'annuler que si l'un des facteurs qui le composent est nul, c'est-à-dire si x est égal à l'un des nombres de la suite

S'il y a, dans cette suite, p termes égaux à «„, on voit que l'on peut faire sortir du produit infini p facteurs égaux à

et que le produit infini restant ne s'annulera plus pour x ^ «h, en sorte que la proposition énoncée au début de ce numéro est entièrement démontrée.

72. Il est aisé maintenant d'obtenir l'expression générale de loirtes les fonctions transcendantes entières qui satisfont aux conditions imposées dans l'énoncé de cette proposition.

Si *(x) est une telle fonction, la fonction /(;r) qui est égale à

■l-(^) G(aO

pour toutes les valeurs de x différentes de fl), Oo, . . -, Ov, ■ ■ ■ i et qui, pour X Tz^a-i, est égale à

;st régulière (u" 53) pour chaque valeiir de x.