TRANSCENDANTES ENTIÈRES

Cela résulte, si x n'esl pas un des nombres a^, de la règle pouila division de deux séries (n" SO) ; et si ^ =: «v, cela résulte encore de la même règle, en remarquant qTie l'on peut écrire, lorsque a-, est un zéro d'ordre /? (n° 44),

en désignant ici par^(^ — c(v)i '-^i (■^ — "v), des séries entières en X — «v, convergentes quel que soit x.

Par hypothèse la fonction f{x)^ régulière quel que soit x, est aussi différente de zéro quel que soit a:; les fonctions

où /'{x) désigne la dérivée de f{x), sont donc également, en vertu du même théorème sur la division des séries, régulières quel

rème de Gauchj sur le développement en séries des fonctions d'une variable imaginaire {'), développable en une série entière en x, convergente quel que soit x. Désignons cette série par g'{x), en représentant par g{x) une série entière en x, convergente quel que soit x; dont la dérivée soit g'{x). L'équation

où l'on regarde /(a;) comme la fonction inconnue, est une équation différentielle linéaire qui, d'après sa forme même (n^ôS), n'admet pas d'autres solutions que des fonctions transcendantes entières; l'une quelconque de ces solutions est entièrement déterminée quand on se donne la valeur de la fonction /(^) au point j;,,. Or, comme, d'une part, la fonction

où c est une constante arbitraire, vérifie cette équation, et que, d'autre part, on peut toujoiu's déterminer la constante de manière

(') On pourrait déduiii

que, eu ^5, cette fonction prenne une valeur arbitraire différente de zéro, il est clair qu'elle est la solution générale de l'équation différentielle linéaire. Bien n'empêche d'ailleurs défaire rentrer c dans ^(3;), en sorte que toutes les fonctions cherchées sont nécessairement de la forme

eff'->^' G(37).

Réciproquement, une expression de cette forme, où. gi^x) est une série entière en x, convergente qnel que soit x^ d'ailleurs arbitraire, satisfait évidemment aux conditions imposées dans l'énoncé du théorème.

Si l'on voulait avoir l'expression générale d'une fonction transcendante entière, admettant, outre les zéros de la suite

la racine zéro et cela m fois, il suffirait évidemment de midtiplie l'expression

oii les polynômes % sout choisis de façon que la série

sur

soit convergente quel que soit x, sont ^xV^ facteurs primaires do la fonction transcendante entière considérée.

Il arrive, dans de nombreuses applications, que la convergence de la série précédente a lieu en attribuant à m(, m^, ■ ■ ■! f^.,, . . . la même valeur fixe. S'il en est ainsi, soit m le plus petit des nombres entiers positifs poiir lesquels la série

FOSCTIOIVS TRAt

soit convergente; la fonction

-nlo-

."■oi

où les nombres m., sont tous clioisls égaux à m, est dite de gennm — I. Cette notion (le gerre est àwa à Laguerre.

73. Nous nous trouverons précisément dans ce cas si dous cherchons à construire une fonction qui s'annule, une fois seulement, pour Ions les nombres entiers positifs ou négatifs.

En excluant le nombre zéro, nous pourrons prendre alors

prendre pour facteurs primaires les quantités Le produit inllni

où n doit parcourir toutes les valeurs entières, positives et négatives, à l'exclusion de la valeur zéro (' ), s'annulera toutes les fois que X est égal à un nombre entier non nul. Ce produit est absolument et uniformément convergent dans toute portion finie du plan des x. Il représente bien une fonction transcendante entière, de genre lui, répondant à la question.

Comme ce produit infini est absolument convergent, on peul réunir ensemble les facteurs qui répondent à des valeurs de »

156 INTKODUCTIOS.

égales et de signes contraires; on obtient ainsi le produit infini

dont la valeur est, comme nous l'avons vu au n" 67, égale à la formule

'— ii1(-o«"!

exprime donc la décomposition de siniï^c en ses facteurs pvî maires.

On aura de même

OÙ II prend toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives.

De même encore,la fonction transcendante entière, de genre un,

.)-^.nl

s'annule pour ;r = o et pour les valeurs négatives entières de x. Celte fonction est liée à la fonction bien connue F {x) par la relation { ' )

en désignant par C la constante d'Euler, c'est-à-dire la limite, pour n infini, de

1 le reconnaît aisément en partant de la définition liabiluellc (') WniËRSiRASS, loc. cit., p. i3 et a3S.

. TRANSCENDANTES ENTIÈRES, de r(:.), savoir

r{^)=ii

La formule que nous venons d'écrire, et qui exprime donc la décomposition de =Y — ^ en ses facteurs primaires, est éminemment propre à établir les propriétés élémentaires soit de la fonction (fi{^) qu'elle définit, soit de la fonction r(x).

74. Si l'on fait le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non, il est clair qu'on obtient une fonction qui n'admet, à distance finie, d'autres singularités que des pôles; ces pôles sont les zéros de la fonction que l'on fait figurer au dénominateur, en supposant que les deux fonctions n'aient pas de zéros communs.

Réciproquement, il importe de remarquer que toute fonction univoque qui n'admet pas d'autres singularités à distance fniie que des pôles est le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non.

D'abord ces pôles sont isolés les uns des autres; car si, dans un espace limité, il y en avait une infinité, il' existerait dans cet espace un point limite, tel que, en décrivant autour de ce point un cercle de rayon arbitrairement petit, ce cercle contînt toujours une infinité de pôles; ce point ne pourrait être ni un point ordinaire, ni un pôle, ce serait un point singulier essentiel. Soient dès lors,

les pôles de la fonction considérée, rangés de telle façon que, s'ils sont en nombre infini, \a„\ augmente indéfiniment avec n; soit a.„ le degré de multiplicité du pôle a„. On peut, par te procédé de M. Weierstrass, construire une fonction entière, qui admette pour zéros les points «,, «a, . .. , a„, ..., avec les degrés de multiplicité tti, «a, .. -, a«, . .. : si les pôles étaient en nombre fini, cette fonction se réduirait à un polynôme; soit, dans tous les cas, W(x) cette fonction, et soit f{x) la fonction proposée; il est clair que la fonction univoque

yGoosle

est régulière en loui point siuié à distance finie; c'est donc une fonction entière, transcendante ou non ; si on la désigne par *^{x),

c'est ce cju'il fallait démontrer.

75. Le lliéorème de M. Mittag-Leffler (') fournit l'expression d'une fonction iinivoque dans tout le plan et présentant aux points

des discontinuités polaires ou essentielles prescrites à l'ai

Avant d'en donner l'énoncé, nous ferons les remarques suivantes :

1" Soit

une série convergente quel que soit x^ el dans laquelle le terme constant est nul, et soit a un nombre positif plus petit que la valeur absolue d'un nombre donné a réel ou imaginaire, La fonction

est alors développable en une série entière en x, absolument convergente tant que l'on a

En effet, le terme

est développable en une série entière en x, et, si l'on remplace, dans celte série, les coefficients par leurs valeurs absolues el x par a, on obtiendra une série convergente dont la s

(') Sur la représentation analytique des fonctions inonogèiies uni/or. d'une variable indépendante {Acla mathemalica, t. IV, p. i).

FONCTIONS TR ANS CODANTES EXTlftBES, I3i)

enfin la série

est convergente.

li" Si, maintenant, on considère le reste de la série entière qui représente g ( -— — - j bornée an terme en x", et si l'on remplace dans ce reste, qui est lui-même une série entière en x, tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a, on obtiendra un nombre positif dont la valeur dépend de n, et, en choisissant convenablement n, on pourra manifestement faire que ce nombre soit inférieur à tel nombre positif s que l'on voudra, fixé à l'avance. A fortiori, le même reste, quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et a: par un nombre moindre que a sera-t-il moindre que s,

76. Voici maintenant le théorème de M. Mlttag-Leffiei- : Soient

une suite indéfinie de nombres, tous différents, et tels que \a \ f^randisse iadéfifiiraeni avec v.

Soient

ff^i^), e.i^). ■.., fv(^), ...

une suite de fonctions entières (transcendantes entières ou polynômes) qui s'annulent toutes pour a; == o.

On pourra construire une fonction F(a:), univoque dans tout le plan, régulière ans environs de toute valeur de x qui n'appartient pas à la suite tï,, «n, . , ., a.,, . . ., et telle que la différence

soit régulière aus environs du point a^.

Supposons d'abord que a, soit différent de zéro et, par suite, qu'aucun des nombres a ne soit nul; faisons correspondre à ces nombres, d'une part, les nombres positifs

l3o INTRODUCTIOS.

asswjeuis à oeue seule condition que la série

soit convergente; (le l'autre, les nombres aussi positifs

définis par l'égalité

OÙ y; est un nombre positif arbitraire, moindre que un.

Ceci posé, développons ^vf—^::^—) en une série entière en x, convergente pour les valeurs de x qui vérifient l'inégalité

faisons correspondre au nombre positif Sv un entier positif m,, tel que, si l'on considère le reste de la série arrêtée au terme en x'^~\ puis, que l'on remplace, dans ce reste, tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par «vi le nombre positif ainsi obtenu soit an plus égal à Sy Désignons, d'ailleurs, par f v{^) la somme des m^ premiers termes de la série entière en x qui représente gy, { —^ — ■ ); en sorte que

sera une fonction définie pour toutes les valeurs de x autres que dv, et qui, pour les valeurs de x satisfaisant à l'inégalité précédente, sera développable en une série entière en x, laquelle ne sera autre chose que le reste antérieurement défini.

Nous allons maintenant montrer que la somme de la série

dont on établira la convergence pour toutes les valeurs de x autres que «(, «2, . . ., ay, . . ., satisfait à toutes les conditions imposées, dans l'énoncé, à la fonction F(x).

Soit, en effet, A un nombre positif fixe quelconque. Comme les nombres positifs «i , «i, . . . , Ov, . . . vont en grandissant indéfiniment, on peut faire correspondre au nombre A un entier /■ ici que, sous la condition

FONCTIONS IRANSCENDANTRS ENTIÈKflS. l3t

Dès lors, pour les valeurs de x qui véritient l'inégalilé

la série

vérifie les conditions (i) et (2) du n" 38 : chacun de ses termes est développable en une série entière en x ; si, dans la série qui représente /^(aT), on remplace tous les coefficients par leurs valeurs absolues et a; par A, on aura une somme moindre que Erj de même pour/,.^,(a:),/j-^i(x), ...; enfin la série

est convergente.

La série

est donc, pour toutes les valeurs considérées de jî, absolument et uniformément convergente. De même les séries suivantes, où les accents indiquent des dérivées,

sont absolument convergentes, si [ a; [ est Inférieure à A, el peuvent alors être remplacées par des séries entières en x.

En supposant que x ne soit aucun des points a, , fl^, . , . , «,.| , désignons par 'ï'r(^) la somme

sera absolument convergente pour tous les points x non exclus qui vérifient l'inégalité