SA

F(iB) = J.,(»)-^T„(»).

s, la funclion *,(,r) est régulière pour Loiis les poluLs

Ida iMROBUcriOiN.

non exclus qui se trouvent à l'intérieur du cercle de rajon A ; Il

en est donc de môme de la fonction F(x).

Enfin, ans environs d'un point «„ de la suite «i , a-i, . . . , <(,.| , la fonction

esl régulière, puisqu'il en est ainsi Je la fonction

/.(■^)-^.(^^)--?.{^); donc la fonction

est aussi régulière aux environs de a„.

Pour tous les points intérieurs au cercle de rayon ;V, la fonction F{x) satisfait donc aux diverses conditions de l'énoncé; elle y satisfait partout, puisque A est arbitraire.

La série qui représente F{;c) est absolument convergente partout, sauf aus points singuliers a, , «2, . . ., a.,, ■ . ■ . Elle est uniformément convergente dans toute aire limitée par un contonr simple et ne contenant aucun des points «,,05, ...,«„. ■ ■ ■] on peut en prendre la dérivée terme par terme, etc.

Nous avons supposé qu'aucun des points singuliers «,, c/.^, . . . , a,„ . . . n'était nul. Si, outre ces points, la fonction cherchée devait admettre le point o comme point singulier (pôle ou point singulier essentiel) et être telle qu'elle devînt régulière autour de ce point après qu'on en a retranché la fonction g" ( - ) > en désignant toujours par g{x) une fonction entière (transcendante entière ou polynôme) d'ailleurs arhitrairement donnée, il siiffirait évidemment d'ajouter à la fonction Y{^x), construite comme nous l'avons

expliqué, la fonction g{-y

Quand on a construit une fonction satisfaisant à loutes les conditions de l'énoncé, on formera la fonction la plus générale qui satisfasse à ces conditions en lui ajoutant une fonction entière arbitraire.

CALCUL DIFFÉRENTIEL