CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES

77. Désignons par a une conslanl-e réelle ou iiuaginaîrc; on dit que la fonction nniYoquc/(«) csl périodique et qu'elle admet la période a si l'on a, quel que soit h,

en changeant dans cette égalité u en u — a^ on trouve

f{u-a)=fiu),

en sorte que, si a est une période, — a est aussi une période; on voit aussi, en changeant u en u -i- a, « + ao, , . ., u — «, u — 2a, . . . , que l'on doit avoir, quel que soit l'entier positif ou négatif m,

Au + ma)=fia),

en sorte que, si a est une période, ma est aussi une période.

Les éléments de l'Analyse fournissent des exemples de fondions périodiques : sin u, e" admettent respectivement les périodes 2Tr, ■ii-K, la série

i34 CALCUL DlFEÉftENTIEL,

supposée convcrgcnLe, représente une fonction admettant la période a."

78. Si une fonction univociue /(«) admet ]a période a, et si elle s'annule pour u^^Uf,, il est clair qu'elle s'annulera pour u= Uf,-^ «; mais il j a plus : si Uf, est un zéro d'ordre n de la fonction /(h), il en sera de même de «o+cr. En effet, dire que «„ est un zéro d'ordre n de la fonction y(«}, c'est dire que, aux environs de «oi cette fonction peut se mettre sons la forme

'■£{11 — i<(i) étant une série entière en u — ii„, qui ne s'annule pas pour u = «n, et celte égalité doit subsister pour toutes les valeurs de u qui satisfont à une condition de la forme

OÙ s désigne un nombre positif au plus égal au rayon de eonvergence de la série <S{u — «„); or si, dans l'égalité précédente, on change u en u — a, il vient

et l'égalité des deux derniers membres devant avoir lieu pour toutes les valeurs de u, qui satisfont à l'inégalité

obtenue en changeant aussi u en m — a dans la condition précédente, la proposition est démontrée.

Au reste, le même mode de démonstration prouve que si la fonction périodique /(k), aux environs du point Ko, peut être mise sous une certaine forme analytique

dans laquelle u — u^ '^o»e le rôle de variable, elle pourra, aux environs du point M„-+- a, être mise sous la forme

■'■["-(".-«)]■ Ainsi, si la fonction /(«) admet un pôle en h,, d'ordre /?. et peut

COHSI DÉRATION s GÉNÉRiLES SUR LES FOKCTIONS PÉBIOPIOCES. l35

se mettre aux environs de ce pôle, sous la forme

où A, Â|, ..., A„, sont des constantes et <S {u — u,) «ne série entière en u — u,, cette fonction admettra le point ui + a pour pôle d'ordre n et, aux environs de ce point, pourra se mettre sous la forme

les constantes A, A(, . . ., An.., ayant les mômes valeurs que pour le pôle u,.

Puisque, si a est une période, il en est de même de -.a, en désignant par 711 un entier quelconque, il est clair «^..e tous les nombres (;„ + ma seront des zéros de même or'!, e ; de même tous les nombres u,+ ma seront des pôle= Je même ordre. C'est ainsi que les zéros de sinar sont to>- . simples et forment deux progressions arithmétiques dont la raison commune est 211, que les zéros elles pôles de cot.-»- sont tous simples et forment des progressions arithmétique? àontla raison est tî.

7G. Au surplus, lors même qu'on ne connaîtrait pas les fonctions tri go no m étriqués, la remarque si simple qui précède, relative aux fonctions périodiques en général, amènerait à les considérer par une voie très naturelle.

On est en effet amené, par ce qui précède, à se poser le problème suivant : Construire une fonction dont les zéros forment une progression arithmétique indéfinie. Si l'on veut, par exemple, construire une fonction transcendante entière, admettant c ros simples les nombres

et n'en admettant pas d'autres, le théorème de M. Weierstrass (n" 71) permettra d'en obtenir une infinité dont la plus simple sera

l36 CAlCrl. DIFFÏBENTIEL.

OÙ le nombre n doit prendre toutes les valeurs entières posiUvcs ou négatives, à l'exclusion de la valeur zéro.

Nous rappelons les conventions suivantes qui seront constaiiimenl adoptées dans la suite : le facteur primaire

est mis entre accolades, de manière à indiquer que la quanlilé qu'enferment ces accolades constitue un facteur du produit infini, au sens du n" 71 ; i'acceni l'J dont est affecté le signe 1 I veut dire qu'on obtient les différents facteurs du produit infini en donnant à n toutes les valeurs entières positives on négatives à Vexclusion de la valeur zéro : nous rappelons aussi, une fois pour toutes, les propositions suivantes, qui ont été établies dans le n- 71.

Les produits infinis, formés en appliquant le théorème de M. Weierslrass, sont absolument convergents; ils définissent des fonctions (transcendantes) entières; leurs facteurs peuvent être groupés comme l'on veut, et les divers groupements conduisent toujours à des produits absolument convergents, de même valeur; on peut en prendre la dérivée logarithmique, comme s'il s'agissait de produits d'un nombre limité de facteurs, soit avant d'avoir groupé les fadeurs, soit après; les séries ainsi formées sont absolument convergentes, sauf pour les valeurs de la variable qui annulent les facteurs primaires du produit infini; elles sont uniformément convergentes dans tovUe région limitée du plan qui ne contient aucun des points dont les affixes sont les valeurs qu'on vient de dire, et dont le contour est à distance finie de ces différents points; on peut en prendre les dérivées terme par terme et l'on obtient ainsi toujours des séries absolument et uniformément convergentes dans les mêmes conditions que la première.

En particulier, dans le cas qui nous occupe, on aura, en désignant par If' {u) la dérivée de tp (m), la relation

yGoosle

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LRS FONCTIONS PÉRIODIQCTS.

puis, en prenant les dérivées une fois de plus,

^lôT^

dans la première de ces relations, les accolades indiquent que la quantité qu'elles enferment constitue un terme de la série, et /? doit prendre toutes les valeurs entières positives el négatives, à l'exclusion de la valeur zéro, ce qui est indiqué par l'accent qui affecte le signe \^; dans la seconde, n doit prendre toutes les valeurs entières positives, nulles el négatives. Nous avons déjà dii («"'67,73) que ces expressions pouvaient conduire directement aux propriétés relatives à la périodicité des fonctions <e{u), - ■■■ ! ; mais nous allons établir à nouveau ces propriétés, afin d'indiquer un mode de raisonnement et quelques transformations de formules qui nous seront utiles plus tard.

Remarquons d'abord que l'expression même de y(w) montre que l'on a

puisque, sous le signe jj , le changement de i/, en — a revient au changement de « en — n qui n'altère pas le produit infini; •■ciu) étant une fonction impaire, il en est de même de ^^7-^ ■ Il est aisé de reconnaître que cette dernière fonction s'annule pour u = !-; on a, en effet,

le second membre est la limite pour/j infini de

limite qui est évidemment nulle.

CALCDL DIFFÉRENTIEL.

Si, maintenant, dans l'expression de cp(«), on change « en« + o, (( désignant un nombre quelconque non entier, on trouve

or, le factCLir primaire

peut être regardé comme le produit des trois quantités

donc, en raison de la convergence manifeste des trois produits infinis dont on obtient les facteurs en remplaçant, dans chacune de ces quantités, n par tous les entiers positifs ou négatifs, àTeTCclusion de zéro, on voit que le produitinfini

peut s'obtenir en multipliant les valeurs des trois produits infinis

on aura donc

ou, en faisant rentrer sous le signe | I le facletir

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUS LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l3f)

qui n'est autre que le factciir général écnt sous ce signe, eL dans lequel on supposerait n = o, on trouve fmalemenl.

dans le premier membre, n doit maintenant prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives.

En prenant les dérivées logarillimiques des deux membres par rapport à u, on obtient la relation

que l'on déduit d'ailleurs directement de l'expression de-^--; les premiers membres des deux dernières égalités, regardés comme des fonctions de a, sont évidemment des fonctions périodiques, admettant le nombre i pour période ; en effet, le changement de a en a + 1 , dans ces premiers membres, revient au changement de n. en n— i qui ne fait que reculer d'un rang les facteurs ou les termes du produit ou de la série et n'altère pas la valeur de ce produit ou de cette série; on a donc

égalité qui montre que le second membre est indépendant de a] on voit de suite que sa valeur est nulle en y supposant r^ = ^ -; on a, en effet, par les remarques précédentes,

ainsi la fonction ", , est périodicruc et admet l'unité pour péiiode.

l'iO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On trouve de la même façon, en remarqiianl. encore que le prodait infini

considéré comme i îiode,

le fonction de a, admet rnnllé comme pé-

fia)

nanl compte de la péiiodicité de la fonction

égalité qui montre que le second membre est indépendant de a.

En y supposant « = > on trouve que sa valeur est — i ; on eu

conclut sans peine que la fonction f{u) est périodique el admet le nombre deux comme période. Les fonctions [»(m)]^) ^(2 11) admettraient l'unité comme période.

D'ailleurs, la fonction (f («) n'admet pas d'autres périodes que le nombre deux et ses multiples entiers, et c'est ce qui résulte encore de la remarque qui a conduit à la former. En effet, f{u) ne peut admettre comme période nn nombre impair 2 « + 1 ; on a, en effet, puisque 2 et an sont des périodes,

mais un nombre qui ne serait pas entier ne peut ctrc une période : en effet, puisque la fonction <f{u) s'annule pour u = o, elle doit

nuler pour toute période; or elle

nie que po

rdes

leurs entières de

On voit comment la forme considérée de la fonction f (") ^'^^^ en évidence les propriétés les plus importantes de cette fonction relatives à la périodicité. D'autres propriétés apparaissent moins facilement sur cette forme el se rattachent à d'autres formes analytiques qu'elle peut revêtir; mais nous ne voulons pas étudier davantage celte fonction, qui n'est autre chose que ■ ■ (n" 73),

et nous nous bornerons à récrire, avec les notations de la Trigo-

CONS IDE HÂTIONS GËÎ^iËIIALES SUR LES FONCTIOh'S PËRIODIQCES.

iioméU'ic, les formules (a), (è), (c), [d), (e). On obtient ai

80. Nous avons dit que, si une fonclion/(i;) admettait une période égale à a, tons les multiples entiers de a étaient aussi des périodes de celle fonction; il n'y a pas lieu de regarder ces diverses périodes comme véritablement distinctes. Si la fonction f{ii) n'admet pas d'autres périodes que celles-là, elle est dite simplement périodique, et l'on dit que a en est la période primitive : ainsi 2 est une période primitive de la fonctioa f («) dti nuuicnt précédent, ai; est une période primitive de sinii.

On peut se demander s'il peut exister des fonctions univoques/{«) admettant deux périodes distinctes a el b, c'cst-ù-dirc des fonctions telles que l'on ait, quel que soit a,

fl.u + a)=f{u\ f{u-^b)=f{n),

el, par conséquent aussi, quels que soient les nombres entiers ni, II, positifs, nuls ou négatifs,

l'in disant que les périodes « et 6 sont distinctes, nous entendons simplement ici qu'il n'existe pas un troisième nombre a dont a el b soient des multiples entiers et qui soit lui-même une période de la fonction f{u). Si un tel nombre existait, on ne dirait rien de plus en disant que «, 6 sont des périodes, qu'en disant que % est une période. On peut se demander aussi s'il peut exister des fonctions unlvoques admettant trois périodes distinctes n, b, c,

l4a CALCUL DIFPÉIIKSTIEI..

c'est-à-dire des fondions f{u) lellcs que l'oti ail, rpel rpc soit u et quels que soient les entiers m, «, p,

En disant qnc les périodes a, b, c sont distinctes, on entend qu'elles ne peuvent pas s'exprimer toutes trois en fonction linéaire à coefficients entiers de deux péiiodes de /(«)■ S'il en était ainsi, on n'aurait rien de plus que dans le cas des fonctions à deux périodes, etc.

81. Avant d'essayer de répondre à ces questions, nous établil'ons le lemme suivant :

Si une fonction univoque/(M) est régulière en un point, «o (n" 53) et ne se réduit pas à une constante, il existe un nombre positif s tel que la valeur absolue de toute période de cette fonction soit certainement supérieure à &.

En effet, dire que la fonction f{u) est régulière en «o, c'est dire qu'il existe un nombre positif -/] tel que, pour toutes les valeurs de h qui vérifient l'inégalité

l'on ait, en désignant par ii l'ordre de la première des dérivées di; /{h) qui ne s'annule pas pour u = ««,

Or, s'il en est ainsi, on a vu (n° 36) qu'il existe un nombre positifs tel que la série qui figure entre crochets dans le second membre de cette égalité ne s'annule pour aucune valeur de h moindre que ï en valeur absolue. Si donc on veut que l'on ait

il faut que I n | soit supérieure à s,

82. Il résulte de là que si la fonction univoque /(«), régulière en u„, est périodique, les différents points qui figurent les diverses périodes que cette fonction peut admettre sont tous à une distance du point o supérieure à s. Si cette même fonction admet

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES StR LES FONCTIONS PÉBlOriQUES. l43

les deux périodes a, b, elle admeltra comme périodes tous les nombres ma + nb, en désignant par m et « des entiers. En particulier, la différence de deux périodes quelconques sera une période; par suite, si l'on figure les diverses périodes par des points, la dislance de deux quelconques de ces points sera supérieure à E, puisque cette distance est ia valeur absolue de la différence entre les affises de ces points, différence qui est elle-même une période.

On en conclut que, dans une portion limitée du plan, il ne peut j avoir qu'un nombre fini de points figurant des périodes; en effet, on pourrait paver le plan avec de petits carrés dont la diagonale serait inférieiire à i ; or, dans chacun de ces carrés, il ne peut y avoir qu'un seul des points considérés.

83. Nous allons maintenant établir les deux pi'opositions suivantes :

I. Si une fonction univoque/{«), régulière en un point Ho, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, b dont le rapport soit réel, il existe une période a de la fonction f{u) dont toute autre période est un multiple entier : en d'autres termes, cette fonction est simplement périodique et a. en est une période primitive.

Il, Si une fonction univoque/((i), régulière en un point «„, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, h dont le rapport soit imaginaire, il existe un couple de périodes a, P de la fonction/(H), tel que toute période de cette fonction soil. une fonction linéaire homogène à coefficients entiers de a, p.

i" Si a, b sont des périodes dont le rapport est réel, tous les points ma -+- nb sont situés sur la droite qui passe par les points ■o, fl, b ; leurs distances mutuelles sont plus grandes que e ; il y a donc un de ces points qui est plus rapproché que les autres de l'origine, puisque sur un segment fini de cette droite ayant son origine en o, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de points figurant des périodes. Soit a l'affise du point le plus rapproché; tous les nombres jaoL, où jD désigne un entier, sont des périodes; ils sont figurés par des points équidistants sur la droite considérée ; or, aucune période p ne peut être figurée par un point situé entre

l44 CALCIL lUFFÉRENIIEL.

deux points conséculiCs joa, [p -\- \)%, sans t[uoi la dialaEce tles points p et pa serait moindre que |a|, et, puisque la difFéreoce entre les périodes pa et p est une période, il y aurait «n point ligiiranl une période plus rapproché de zéro que le point a; ainsi, toutes les périodes sont des multiples de a, en particulier a et b, qui ne sont pas des périodes distinctes. La fonction est simplennent périodique et a est une période primitive ( ' ).

a" Si donc la fonction /(«), régulière en un point, admet deux périodes distinctes a, b, le rapport de ces deux périodes, et, pnr conséquent, l'une d'elles au moins, est imaginaire.

Avant d'aller plus loin, il convient de se rendre compte de la façon dont sont distribués tous les points ma + nb, m et n étant entiers.

Tous les points ma sont des points équidistants sur la droile qui passe parles points o, a; de même les points nb, sur la droite

(0 On arrive à la même conclusion par les considérations arithiméliques que

Supposons d'abord qne le rapport - 9oil nn nombre rationnel - > q et p étuni des entiers premiers entre eux ; il existera alors un nombre a tel que l'on ait

et il suffit de prouver que o est une période pour démontrer que o et È ne sont pas des périodes distinctes ; or c'est ce qui résulte de ce qu'il existe des entiers p', q' tels que l'on ait

1 '-pp'-\-qq',

■j. = p'a vq-b.

Supposons maintenant que le rapport des deux périodes - soit un nombre irrationnel réel p; la théorie des fractions continues montre qu'il existe des fractions à termes enlieis , à dénominateur aussi grand qu'on le veut et, telles que l'on

absolue Ali pa — qb on «(/J ^ 7?) étant

peut être supposée aussi petite que l'on veut; mais, pa — qb étant une période, voit que cela est impossible sï la fonction /( u) est régulière en quelque poi

r,oîisiDiînA.TioNs cénéralhs son les FONr/rcoss rÉmoniyuEs. i/|5 qui passe par les points o, b : les deux droites sont d'ailleurs distinctes, puisque le rapport -■ est imaginaire ; si, pat- les différents

points de division de la première, on mène des parallèles à la seconde, et, par les différents points de division de la seconde, des parallèles à la première, on décomposera le plan en un réseau de parallélogi-ammes tous égaux et dont les sommets auront des affixes de la forme ma -|- nb ; le point ma -\- nh sera obtenu par l'intersection de la parallèle à la seconde droite, menée par le point ma, et de la parallèle à la première droite, menée par le point nb.

Nous désignerons sous le nom Ae premier parallélogramme du réseau le parallélogramme ajant pour sommets les points o, a,a-\-b, b, et nous regarderons comme appartenant à ce parallélogramme tous les points qui lui sont intérieurs, les points situés sur le côté qui va de o à a, sauf le point a, les points situés sur le côté qui va de o à b, sauf le point b ; les points situés sur les deux autres côtés n'appartiennent pas au premier parallélogramme. De même, tous les points u + ma + nb, où m, n doivent prendre encore toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, sont sitiiés aux sommets d'un réseau de parallélogrammes identique au précédent, et qui s'en déduirait en faisant subir à toute la figure une translation égale au segment qui va du point o au point a. Tous ces points u -\- ma + n6, pour lesquels la fonction f{u) reprend la même valeur, sont situés de la même façon par rapport aux parallélogrammes du premier réseau {ma -|- nb) qui les contiennent; nous dirons de tons ces points qu'ils sont congruents ; étant donné un point quelconque u du plan, il existe un point appartenant au premier parallélogramme, et un seul, congruent au point u.

Il est clair, d'après cela, qu'on connaîtra entièrement une fonction admettant les périodes a, b, si on la connaît pour tous les points qui appartiennent au premier parallélogramme du réseau ; elle se reproduira dans les autres parallélogrammes.

Remarquons encore, en général, que si n, i, c sont les affixes de trois points, le quatrième sommet du parallélogramme ayant l'un de ses sommets en a et ayant pour diagonale le segment qui joint les points 6, c a pour affixc b + c^a; en effet, si l'on

l^O C*Li:UL DIFFÈKEKÎIIÎL.

désigne par d cette affixe, on devra avoir, en vertu de la représentation géométrique de l'addition des nombres imaginaires,

il résulte de là, en particulier, que, si a, /i, c sont des périodes de la fonction /(«), le quatrième sommet de tout parallélogramme dont a, &, c sont trois sommets figurera aussi une période.

Ceci posé, imaginons que la fonction univoque/(M), régulière en un point, admette les deux périodes a, b k rapport imaginaire et considérons l'ensemble des points qui peuvent figurer des périodes de celte fonction : ces points, que nous appellerons points-périodes, sont isolés, et leurs distances mutuelles sont au moins égalesàe; choisissons arbitrairement l'un d'eux, et menons, à partir du point o, la demi-droite qui le contient; il y aura sur celle demi-droite une infinité de points-périodes, mais, comme on l'a vu plus haut, il y en a un qui est plus rapproché de o que les autres ; désignons-le par a ; décrivons du point o comme centre un cercle, avec un rayon plus grand que | a | et assez grand pour embrasser un ou plusieurs autres points-périodes, non situés sur le rayon qui passe par a; faisons tourner ce rayon autour du centre de façon à rencontrer un point-période situé dans le cercle avant d'avoir décrit deux angles droits, et arrêtons-le dès que l'on a rencontré un tel point; désignons par ^ le point-période le plus rapproché de o, situé sur le rayon dans cette nouvelle position. Il est manifeste que le triangle ayant pour sommets les points o, a, p ne contient à son intérieur ni sur son contour aucun autre point-période que ses sommets; il en est de même du parallélogramme ayant pour sommets les points o, a, a + p, ^ : ce parallélogramme, en effet, est séparé en deux triangles par la diagonale qui joint les deux points a, P; l'un de ces triangles a pour sommets o, a, p; le second a pour sommets a, p, a-^p; or si ce second triangle contenait à son intérieur ou sur son contour un point-période y distinct de ses sommets, le sommet a+ p — Y ^^ parallélogramme dont le segment qtii joint a, ^ est une diagonale et dont y est un sommet, serait un point-période et appartiendrait au premier triangle, ce qui est impossible. Le parallélogramme dont les sommets sont 0, a, ce -|- p, ^ ne contient donc à son inlêrieur et sur son contour aucun autre point-

CONSIDÉRATIONS GÉNÉIliLES SUII LES FONCTIONS PÉRiODlQUES. 14?

période que ses sommets. Dès lors, si on le considère comme le premier parallélogramme d'un réseau dool les sommets auraient pour af fixes les différentes valeurs de mm-i- n^, on voit qu'aucun parallélogramme du réseau ne pourra contenir à son intérieur ou sur son contour (en dehors des sommets) aucun poiu [^période, sans quoi, le point congruent du premier parallélogramme serait un point-période, ce que l'on a démontré être impossible.

Ainsi, toute période de la fonction f(u) esit nécessairement de la forme /nx + n p, et l'on voit en particulier que cette fonction ne peut admettre trois périodes distinctes (').

En résumé, lorsqu'une fonction univoque /( «), régulière en un point, admet un couple de périodes à rapport imaginaire, il existe

(') La démonstration arilhniétiqufi de cette dernière propositi généralisation de la méthode d'approïimation des fraci et qui est due à M. Hermite.

Soient a^, a,, . . ., a^, n nombres réels quelconques; on peut en approcher comin il suit par des fractions à termes entiers et de même dénominaleur : soit J^ « entier positif arbitrairement choisi et a: un des nombres i, a, . . ., -CTi P'^""! pour a:,, te nombre entier défini par les iné|;alités

sont nulles on en restera là; sinon on prendra pour a; un autre des nombres de la -.uite I, s, . . . , J^. Si, après avoir essayé tous ces nombres, aucun des ^" sjstemes dp n nombres entiers positifs moindres que 4^, formés par les parties entières des n expressions -(^(a,ai — œ^) n'est composé de nombres tous nais, c'est que deuï systèmes sont composés de nombres identiques, puisque, avec les i^

nombres o, i, 2, -i^— i, on ne peut former que J^' systèmes distincts de 11.

nombres, et que l'un de ces systèmes est formé de 11 nombres nuls; par suite, dans le cas supposé, il existe deux nombres ic, a;', pris dans ta suite 1,2, ..■, i^, tels que les parties entières des n expressions

Dès lors, on aura

en résumé, on peut toujours choisir les entiers x, a:,, ic,, , . ., x,,, tels que l'on ail.

l48 CALCUL DIFrÈiinsTIEL.

un couple de périodes dont toutes les autres périodes sont des fonctions linéaires à coefficients entiers : un tel couple de périodes est dit couple primitif ; nous verrons d'ailleurs plus tard qu'il en existe une infinité. La fonction f{u) est dite doublement périodique.

A la vérité, rien encore n'autorise à affirmer l'existence de pareilles fonctions, existence qui a été supposée dans ce qui précède; c'est la construction de ces fonctions qui va maintenant nous oc-

84. Parmi les fonctions univoqucs, les plus simples sont les fonctions rationneUes; mais on aperçoit de suite qu'elles ne peuvent être périodiques, à moins de se réduire à une constante. 11 j a, au contraire, des fonctions périodiques parmi les fonctions transcendantes entières; telles sont les fonctions simplement périodiques

le nombre x est pos i f et a plu e al â J il est facile d'assigner des limites supérieures aux valeurs alsol es dea n rabres a:,, œ,, . . . , x„. Ceci établi, on dénontrera comme 1 sut l'impossibilité de troi^ périodes

a = ï. + î. 6 = p: + lA î e^^^ + t'i;

si l'on désigne par x, y, s des entiers, le nombre P -i- iP', où l'on suppose

sera aussi une période, et il suffit, pour établir la proposition énoncée, d'établir

ipiel'on peat choisir les entiers ce, y-, z de manière que fes valeurs absolues de P,

P' soient moindres que toute quantité donnée : or, on tire des égalités précédentes

(V->>»^-(i^^'-H-''')3 = Pt^'-P>,

(),[j.'-),'iJ.)y-CX'v-),v')3 =V\-W;

en effet était nulle, le rapport ^ serait réel, et ce casa déjà été exclu; or, après aToir fixé le nombre entier -!^, on peut déterminer les entiers j:,y, a de manière que les premiers membres des égalités précédentes soient moindres en valeur absolue que -^; si donc on désigne par j, e' des nombres moindres que i en yaleur

'LW~ 1»

J^ peut être supposé aussi

grand qu'on le veut, P

CONSIDÉRATIONS GÉNÉHALES SUK LES FONCTIONS PÉRIODIQUES, 149

sinar, e^\ mais toute fonction entière, transcendante ou non, qui est doublement périodique se réduit à une constante. C'est Jà une proposition extrêmement importante, due à Liou- YÎUe et dont l'illustre géomètre a montré qu'elle pouvait servir de principe pour fonder la théorie qui nous occupe ('). Sa démonstration est d'ailleurs immédiate; considérons en eil'et le réseau de parallélogrammes formé, comme il a été expliqué plus haut, au moyen de deux périodes; une fonction (transcendante) entière restera évidemment finie dans le premier parallélogramme du réseau; sa valeur absolue y restera inférieure à un nombre positif fixe Â; et, à cause de la périodicité, cette valeur restera moindre que A dans chaque parallélogramme, c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur finie de la variable : or, on a vu (n" 3S) que, dans ces conditions, une fonction transcendante entière se réduit nécessairement à une constante; le théorème de Ijioaville est donc démontré,

8S, Après les fonctions transcendantes entières, les fonctions univoques les plus simples, parmi celles qui admettent des dérivées, sont celles qui n'admettent pas d'autres singularités à distance finie que despôles : sauf en ces pôles (et au point oo), elles sont partout régulières ; leurs pôles sont nécessairement isolés. Elles se comportent comme des fonctions rationnelles pour toutes les valeurs finies de la variable. Rappelons encore qu'elles peuvent être regardées comme le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non (n" 74); ce sont ces fonctions que nous considérerons exclusivement, et voici la marche que nous suivrons pour former celles d'entre elles qui sont doublement périodiques.

Considérons une telle fonction univoque /{(*), n'ayant pas d'autres singularités à distance finie que des pôles. Supposons que l'on ait

•!>(«) et ^"(") désignant des fonctions entières (transcendantes ou non) de la variable u, qui ne s'annulent pas pour une même

(') Leçons sur les foncUom doublement périodiques {Journal de Crelle, l. lAXXVIII).

l5o CAICUL DIFEÉREMTIEI,.

valeur de «; les pôles de /{u) correspondront aux zéros de W{k), ses zéros correspondront aux zéros de *(")• Supposons qne la fonction/(w) admette les périodes a, b, dont le rapport sera nécessairement imaginaire, et envisageons le réseaii de parallélogrammes formé au moyen de ces périodes. Dans le premier de ces parallélogrammes, la fonction /{«) aura au moins un pôle, sans quoi, elle n'en aurait nulle part. Elle en aura, d'ailleurs, an nombre fini, sans quoi, elle admettrait nécessairement dans ce parallélogramme un point singulier essentiel, limite des pôles en nombre infini. Si les pôles distincts appartenant au premier parallélogramme sont

tous les points congruents aux points p,, fj-^, . . . , p^ seront aussi des pôles de la fonction, avec les mêmes degrés de multiplicité respectifs que ces points. En effet, si m, n sont des entiers, ma ■+- nb est une période et, par conséquent, ^,+ ma h- nb est un pôle de même ordre v; que p,, (/^ i , 2, . . .,g)\ donc la fonction ^'■(u) admetfra comme zéros tous les points ^i-\- ma + nb, avec l'ordre v;, (i;= i, 2, . . .,ç/); elle n'en admettra pas d'autres. De même, dans le premier parallélogramme, la fonction /(w) admettra au moins un zéro; car, autrement, la fonction doublement périodique

qui n'admet aussi d'autres singularités que des pôles, n'aurait aucune singularité si elle n'admettait pas quelque pôle dans le premier parallélogramme; ce serait donc une fonction entière, et, par conséquent, en vertu du théorème de Liouville, une constante. Dans ce premier parallélogramme, /{«) ne peut admettre qu'un nombre fini de zéros; soient donc

les zéros distincts de la fonction 3>(w), appartenant au premier parallélogramme, et soit ^,; {i= 1, 3, ,/>), l'ordre de multiplicité du zéro «j-; tous les nombres «;+ ma -\- nb seront des zéros d'ordre ja,-, (i =^ i , 2, . . , , /)), pour la fonction W(«), et celle-ci n'admettra pas d'autres zéros.

Imaginons donc qu'on construise, par la règle de M. Weicr-

COnSlDÉRAILONS GÉNÉRALES SUR LP.S FONCTIONS PÉRIODIQUES. l5l

Strass (n" 71), une ïonction transcendante entière rf« (') admettant pour zéros simples tous les nombres ma-{- nb, et n'en admettant pas d'autres, on devra avoir, en vertu du théorème q\ie nous venons de rappeler, et en désignant par «(«), ^{u) des fonctions (transcendantes) entières de u,

*(«) = e?t«i[tf(«-û.)lt'4'^("-«ï)>'---[a'("-«p)]l'f. q'(<<) = e^'<'"[tf(M-p.ir'-['^(''-POP'---L«'(«-WP''- En effet, on voit de suite, comme au n" 72, qiie la fonction, régulière pour toute valeur finie de w, et ne s'annulant pour aucune valeiir de u,

*(ii)

[tf(u-a,)]^^.[<r("- ",)>>... Ltf(«-«;.)]^/

est une fonction (transcendante) entière de u du la forme

U en résiiUe que la fonction/(i() est nécessairement de la forme

Nous retrouverons cette forme plus lard, avec une signification plus précise; nous avons seulement voulu montrer ici comment l'étude de la fonction rfw s'imposait d'une façon nécessaire; c'est la construction de cette fonction et l'examen de ses propriétés élémentaires qui vont maintenant nous occuper.

C'est Eisenstein qui, le premier, a construit cette fonction (^). Toutefois le produit infini à double entrée qu'il considère n'est pas absolument convergent et est, par suite, moins maniable que celui que nous allons considérer en suivant la méthode et en adoptant les notations de M, "Weierstrass.

(') Dans les Ghapilres qui suivent, on désignera par ce symbole une fonction particulière entièrement déterminée.

(') Genaue Untersuchung der uoendlichen Uoppelpcoduitte, aus welchen die elliplischen Funktionen als Quotienten zuiammengesetit sind. {Eisenstein' s Mathematiacke Abkandlurtgen, p. 3i3; Berlin, 1847.)