CHAPITRE II
L\ FONCTION rf(i ET LliS FONCTIONS QUI EN DlilRTVENT,
I, - Les trois fonctions cj;, >;«, pa. L'argument augmente de ?.u)ï. 86. Nous adopterons les noLalions el les convcnlioiis qui
Désignons par 2W|, aw, deux nombres dont le rapport soit imaginaire ; nous apprendrons bientôt à former des fonctions doublement périodiques, pour lesquelles ces nombres constitueront un couple primitif de périodes, et nous emploierons de suite les mois périodes pour désigner ces nombres; quoiqu'il en soit, nous considérerons le réseau de parallélogrammes formé par les points
m, Il prenant toutes les valeurs entières positives, miHes ou négatives; comme dans le n" 83. Nous désignerons sous le nom de premier parallélogramme le parallélogramme dont le premier, le deuxième, le troisième et le quatrième sommet auront respectivement pour affixes
lepremier, le deuxième, le troisième elle g'^dî/'/èmecôlé joignent respectivement les points o,aw,; atO), awi-f-aoïa; yW)-i-2(!Jj, 2(03) 2(1)3,0. Comme an n" 83, nous regarderons comme appartenant au premier parallélogramme loiis les points intérieurs, et tous les points situés sur le premier et le quatrième côté, sauf les points 3(o,, 20)3. Nous adopterons des conventions analogues pour le parallélogramme dont les sommets sont
LA FOSCKON rfH ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 1 53
qiii seraL dit parallélogramme des périodes relatif au point u; tous les points «+ 27rtCi)(-H2n(i)9 sont dits congruents; supposons en particulier que le point u appartienne au premier parallélogramme, tous les points congruents sontsitués,par rapport aux divers parallélogrammes du réseau qui les contiennent respectivement, de la même façon que le point u par rapport au premier parallélogramme. Étant donné un point quelconque «' du plan, il existe un point u appartenant au premier parallélogramme et congruent au point u' ; l'affixe de u est la valeur réduite de u' .
Dans le langage de l'Arithmétique, on dit que les nombres u et m' 5ontco/î^rw5 par rapporiau système de modules awi, aw,, ou encore, congrus modulis 2w,, 2(03, si l'on a, en désignant par m et n des nombres entiers,
87. Nous allons maintenant nous occuper du problème posé à la fin du Chapitre précédent, de la construction d'une fouction transcendante entière admettant comme zéros simples tous les nombres irruû, + antog, en désignant toujours par m, n des entiers positifs, nuls ou négatifs.
La série à double entrée
HP
étant absolument convergente (n" 18) lorsque a est un entier plus grand que deux, on voit que la fonction cbercbée est une fonction transcendante entière de genre deux.Voutl^ construire, il faudra donc, d'après le théorème de M. Weierstrass (n°71),
{') La notation un peu singulière modci. a élé proposée par Gauss {Werke, t. II. Nachlass, p. ïSg}; elle a été adoptée et est employée couramment par M. KroQecker et ses élèves, pour distinguer les congruenoes snivanE un système de modules des congruences suivant un seul module. Cette même notation est adoptée en Algèbre par M. Kronecker dans un acna bien plus général. (Voir^WtAmetische Théorie der algebraisohen. GrSssen, Festachrift et les Sitzungsberiehte der Berliner Akademie, surtout depuis 1886.)
l5^ CAICDL B[FFÉnENTIEL.
prendre pour facteurs primaires les quantités
dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux, facteurs doivent être regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée
ni
où s doit être remplacé par les diverses valeurs que prend l'exprès s loo
quand on y met à la place de nî, n les différents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à l'exclusion de la combinaison m = o, nz=o, est alors absolument convergent quel que soit u. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n° 79. Il en est de même du produit infini à do\ible entrée
qui admet pour zéros simples toutes les valeurs de s et n'admet pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs de s, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies, et en outre la valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs que peut prendre l'expression zmisi, + zntuj quand m et n sont des entiers quelconques.
C'est cette dernière fonction transcendante entière que nous s par
ou, quand nous voudrons raeltrc les périodes dont on part, e dence, par
Alors, toute fonction transcendante entière admettant les n
LA FONCTION rf« ET LES KOKCTIOSS QLl M llÙRITliNT. Io5
zéros simples, eL n'en admettant pas d'autres, est de la forme
OÙ g{u) désigne une l'onction entière quelconque, 88. On a donc, par définition,
En prenant la dérivée logarithmique du produit infini à double entrée, couime s'il s'agissait du produit d'un nombre fini de factenrs, on obtient une série à double entrée
qui représente (n" 71) la dérivée logai'itbmique — — de la fonetiou^M; les éléments d'un même tpvme
doivent être considérés comme liés indissolublement.
Les pôles de la fonction --— que cette série représente sont ici bien en évidence: ce soni tous les points 5; ce sont des pdles simples.
Nous désignerons, par ^u, la fonction -— ainsi 1
engendrée de rf«.
Lorsque nous voudrons mettre en évidence les n
ombres w,, w, au
moyen desquels elle est formce„nous écrirons
On a donc
La fonction ^u engendre elle-même, par dilTéren tiation, une fonction — ^'u qui est représentée par la série à double entrée
... ■ Zi Uu-,f
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
obtenue en différenliant, terme par terme, la série qui représente — X^a. Les éléments d'un même terme
doivent toujours être regardés comme liés indissolublement.
Les pôles de la fonction — "Qu sont bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles doubles, Nous désignerons par pM ou, si l'on veut, par p{m]w),(D3), cette fonction --"Qu engendrée de X^u et, par suite, de du.
On a donc
De même pu engendre par différentiation une fonction p' ii qui ;st représentée par la série à double entrée
Z {u-sf ''2u{u-lf
obtenue en différenliant, terme par terme, la série qui représente pu. Les pôles de p' u sont bien en évidence : ee sont tous les points s ; ce sont des pôles triples.
On a donc
où la somme est étendue à toutes les valeurs s -— amw, -t- 2 «ùj^, y compris zéro.
89. Les propriétés qui suivent se lisent immédiatement sur les formules {II|,).
La /onction cii( est impaire. En eii'et, à chaque valeur de s, non nulle, correspond évidemment une valeur égale et de signe contraire, en sorte que, au facteur
LA FOKCIIOW ^U ET LES FONCTIONS QUI UN DÉRIVENT. là7
correspond le facteur
et ces deux facteurs se permutent l'un dans l'antre quand on change
Il en résulte immédiatement que "C^u est aussi une fonction impaire, pu une fonction paire et p'« une fonction impaire; cela se voit d'ailleurs aussi sur les formules (IIî a).
On a encore immédiatement, quel que soit le nombre a différent de zéro,
