III

(3) p(««|««>i,K»,,)=^,p(«|<o„ma).

90. Soit S la dislance du point o au plus rapproché des sommets s du réseau de parallélogrammes.

Si l'on a I i( ! < S, on peut écrire

donc, en remplaçant dans l'expression de î^« chaque terme qui ligure sons le signe \ par

et en ordonnant ensuite, ce qui est permis (n" 38), on aur; seule condition | h | < 3,

î»=i-»'i:"'i-«'i;"'i-— »"2"'?fc.-

ou, en tenant compte de ce que, dans les sommes de la fi

l58 CALCUL DlFFÉUEKTTllL,

les termes se détruisent manii'estement deux à deux.

En jnlégranl par rapport à «, un a

C étant la constante d'intégration et ]a détermination de logM dépendant du cberain d'intégration. On aura donc

La constante C doit être prise égale à zéro, afm que le rapport — ait pour limite l'unité quand u tend vers zéro, ce que la formule (II| ) exige manifestement. En remplaçant

-'"'S'''t~'""S"~~-par le développement en série entière en «,

on voit que d u peut se mettre sous la forme

Ce développement est valable quel que soit u; il n'a, à la vérité, été établi que sous la condition |m|<S; mais, comme la fonction crw peut être mise sous la forme d'une série entière en m, partout convergente, et que cette série doit coïncider avec la série (IV,) pour toutes les valeurs de u qui satisfont à la condition précédente,