I.* FONCKON du UT LES FONCTIONS QUI EN DÉIUVENT, iSg

elle coïncide nécessairement (n° 36) avec celte même série, quel

On remarquera qiie le terme en it^ manque dans le développement de du.

D'un autre côté, en différeutiant par rapport à h la relation (IVj), on trouve ia formule suivante, que l'on aurait aussi bien pu déduire de la définition de pw.

Cette formule sera valable tant que l'on aura j h | <; o ; si celte condition n'est pas vérifiée, le second membre n'est pas convergent. En différentianl encore une fois, on trouve

La méthode précédente permet sans doute de calculer autant de termes que l'on voudra dans le développement en séries de du, i^«, ^u\ mais elle ne permet pas de trouver la loi de formation de ces séries. Ce n'est qu'après avoir obtenu des équations différentielles aitxquelles doivent satisfaire ces fonctions que l'on peut établir cette loi. Il convient toutefois de signaler dès maintenant ce fait important que les coefficients des séries (IV,.,) sont des polynômes entiers à coefficients rationnels par rapport aux. deux nombres

(ivo ^^--=^'=2'''7i' -'■^-'^"S*''^'

Les nombres g^ et ^3 ont reçu le nom dHn.i'arianCs, qui sera justifié plus tard.

91. La formule (11,) peut être transformée comme l'acte la formule analogue pour sinita; dans le n" 79. En désignant par a un nombre assujetti seulement à ne pas être égal à l'une des valeurs de s, on aura, en remplaçant dans (II, ) u par u + a.

cf(« + «)