II

l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or le facteur primaire, qui figure sous le signe TT , peut être regardé comme le produit des trois quantités

et, à cause de la convergence manifeste de chacun des trois produits infinis dont les facteurs s'obtiennent respectivement en donnant à s, dans les expressions précédentes, tontes les valeurs dont ce symbole est susceptible, sauf la valeur zéro, il est clair

que ■ — ~ est égal au produit de ces trois produits infinis.

Le dernier d'entre eux est égal à une puissance de e dont ^e^posant est

mais, en vertu des formules (Ui) et (11^), on a

D'autre part, le second des prcdviits infinis est, en vertu de la formule (fit), égal à

On a donc

<ïr!(.-^)'

LA FONCTION tf« ET LES FOMCTIONS "QUI EN BÉRIYENI.

En faisant rentrer parmi les facteurs du produit infini le fae

qui n'est antre chose que le facteur général qui figure sous le signe I I , dans lequel on supposerait 5 = 0, on aura finalement

(Vi)

ï^is^«-"="ï--nl(--^)---

oii 5 doit prendre toutes les valeurs, sans exception, que l'on obtient en remplaçant, dans l'expression a«î W| -H anws, m et n par tons les nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs.

En prenant les dérivées logarithmiques, par rapport à u, des deux membres de l'équation précédente, on tombera sur la formule

(vo ;(« + «)-

Et, en prenant les dériyt^es par rapport à u dans les deux membres de cette dernière égalité, on a

Ces deux égalités se déduiraient tout aussi bien des formules (lli)

a (II.).

92. Les égalités (V) ont ceci de très remarquable que les quantités qui figurent dans les seconds membres ne changent manifestement pas quand on j remplace a par a -f- «, où j est l'une quelconque des valeurs que peut prendre amw, + a^wj. II est clair, en effet, q\ie, par ce changement, l'ordre des factetirs ou des termes qui figurent dans le produit infini ou dans les séries est seul modifié. Ainsi, considérés comme des fonctions de a, les premiers membres sont des fonctions doublemenl. périodiques à

péril

ode;

yGoosle

l69 CALCUL MFFeRESTlEL,

Voici quelques conséquences essentielles qui résultent de cette remarque et dont nous empruntons la déduction à Halphen ( ' ) : 1" On a

d'oii, en remplaçant u par b — «,

on voit donc que les deux membres sont égaux à une constante, indépendante de a et de 6. Pour déterminer celle constante, supposons d'abord que les deux entiers /n et « ne soient pas tous deux pairs, en sorte que -s ne soit pas un des nombres exclus pour a ;

posons alors « := et rappelons -nous que p est une fonction

paire; on voit que la conslanle cberchée est alors nulle.

On a donc, en particulier, pour m =; i, n = o et pour m ^^ o,

et, par conséquent, quels que soient les entiers m et n,

(VI.) ,(,, + .2».„,+ î,»».) = pU.

2" On a de même, en conservant les mêmes notations,

En réduisant, au mojen de l'égalilé précédente et en posani u = b — a, il vient

Ici encore les deux membres sont donc égaux à une conslanle indépendante de a et de b. Pour la déterminer, dans le cas où m

et n ne sont pas pairs simiiltanément, posons «= 1 ce qui

est alors permis; rappelons-nous aussi que la fonction Ç est impaire, et nous aurons alors, pour la valeur de cette constante,

LA FONCTION tf« ET LUS FONCTIOKS QUI EN nÉRlVENT. l63

En particulier, pour m = i, « = o, pour m =; — i, n = — i el pour m=^o, n = i , on a

OÙ le nombre w^ est défini par la relation

el est inlrodiiit poiii' des raisons de symétrie dont le lecteur s'apercevra bienlôt.

On en déduit

de sorte que l'on a

On pose habituellement (VU) K'oz^-ra,

en sorte que la relation précédente peut s'écrire

et que l'on a, en écrivant u au lieu de a,

U« + 2o.„) = (;« + 2ïi„ (« = i,s,3); donc aussi, par répélition, quels que soient les entiers m et n, (Vis) Çf«+-a/««>i + 2n<03) = Ç" + 2mvi, + a«-ia-

3° Enfin, on a, en conservant toujours les mêmes notations.

En réduisant, au mojen des égalités précédentes, il vient

l64 CALCUL DIFFÉHEKIIRL.

et, en remplaçant u par b ^- a,

ïliii) ,-«„.,.*■,,,) „ ?(» + ') --.■■,.,.-u.,.v.

Ici, encore, les deux, membres sont égaux à une constante indépendante de a et de b, et, si m, a ne sont pas tous deux pairs, on déterminera cette constante en posant

ce qui est alors permis. On obtient, dans ce cas, pour cette constante, la valeur

on a donc, pourvu que l'un des deux entiers m, n soit impair, el, en particulier,

La première de ces trois égalités, par répétition, donne

de même

tf(tt + an <U3) = (-1)" â2,i,(««+n'«,) ;

en remplaçant, dans l'avant-dernière égalité, u par j( 4- 2 7J<i)3 et en tenant compte de la dernière, il vient

sans qu'ici l'on ait à exclure le cas où m et ti seraient pairs à la fois; on a posé, pour abréger,

A = 27], [m{«-i- anjioj) 4- m2(0,J -h -ivia [«M + îî'ios]

= (aniT.i-H 2nil,)(K-i- m«.i-i- ntUî) -I- 2m«CiiiUi3 — 7,1(0,).

En échangeant m, w,, n, et n, Wj, ïi,, on aurait de même

LA FONCTION rfU ET LES FONCTIONS QUI EK DÉllIVLNT. l65

OÙ

Il (aul que l'on ail. e' ^^ e" et, par suite, que

soit un multiple entier de aiti, quels que soient les entiers m, n. Si, en particulier, on prend m ^ i , « = i , on voit que

est un multiple entier de — ■ On peut ajouter que c'est un multiple impair, puisqu'on doit a\oir à la fois

ce qui implique

On prouvera p!us tard (n" 108) que l'o

suivant que le coefficient de i dans — est positif ou négatif.

Quoi qu'il en soit, dans le seul cas d'abord esclit, celui où m et n sont pairs à la fois, la quantité

sera un multiple de aTtj, et l'on aura, dans ce cas,

On a donc, dans tous les cas,