Ajoutons encore que, de la double périodicité de jim, on

l66 CALCUL DltKÉUENTlEL.

déduit immédiatement celle de toutes ses dérivées jj'm, p" u, ■■■ ■ On a donc

(VIO p'(« + î.m.O,+ 2«tO,)=P'«-

Si l'on fait dans celte formule h ^ — to, , m = i , /( = o, on a

d'ailleurs, puisque la fonction pu est paire, la fonction p' u est impaire; on a donc

puisque (0| n'est pas un pôle dejV^;. De même p'u^^z o, p'w3:=o : ainsi

Le lecteur retrouvera immédiatement ces résultats sur l'égalité qui donne, par exemple,

il est manifeste que le second membre est composé de termes égaux et de signes contraires qui se détruisent deux à deux. On verra de même que les dérivées d'ordre impair de la fonction pu s'annulent pour m = (i>,, Uï , Wj. La formule (Vie bis) povir a= I, î, 3 se trouve aiusi établie à nouveau.

La périodicité de p' u est d'ailleurs mise directement en évidence par la formule

car le second membre ne change évidemment pas quand on change « en M + ami W| + aH| w3,où m, et «i sont deux entiers déterminés quelconques : dire que l'indice s prend toutes les valeurs a.TiW) 4- anwa ou dire que s — 2m, ai, — 2/1^*113 prend toutes les valeurs amw, -(- 2«(J3, c'est, en effet, dire exactement la même chose, et la somme double étant absolument convergente,