LA FOKCTIOK ^U ET LES FONCTIONS QUI ES DÉBIVIÎNI

on peut, sans changer sa valeur, intervenir à volonté l'ordre de ses termes.

De la périodicité de p'u ainsi établie directement, on aurait pu déduire celle de pu et, par suite, les formules établies plus haiit pour X,{u+ amw, + 2/iWs) et rf(i(+ amto, + anwj). En effet, de l'égalité

par exemple, on déduit, en intégrant,

istante; si l'on pose a^ — n),, cette dernière

formule devient

on en conclut que c = o, car jjm est une fonction paire et ai, n'est pas un pôle de p u.

De même, la relation

donne, en intégrant,

c est encore la constante d'intégration, dont on trouve la valeur 2 Çwi , en supposant u =^ — (o, et en se rappelant que Ç u est une fonction impaire. EnGn, en intégrant l'équation différentielle

et l'on trouve c ^w, en supposant encore « = — (o, .

Ajoutons que les périodes îwi, 2W3 constituent un couple de périodes jDï'tmi'aVes pour la fonction j)m; en effet, puisque o est un pôle de cette fonction, toute période de pu doit aussi être un pôle; or la série qui définit pu montre qu'il n'y a pas d'autres pôles que les nombres 5 congrus à zéro, modulis 2w,, 2033.

Le parallélogramme que nous avons désigné comme premier peut donc aussi être désigné sous le nom Ae primitif .

Nous avons ainsi établi, sur leur définition même, quelquesunes des propriétés fondamenlates des fonctions riu, tji^ pu.

CALCUL DIFFÉRENTIËI

II. — Premières relations entre les fonctions tf w, Ci P"t p'"-

94, Nous allons maintenant faire une courLe digression pour établir entre ces fonctions quelques relations plus cachées, mais de la plus haute importance. A la vérité, nous aurons occasion plus tard de retrouver ces relations par une voie peut-être plus naturelle, et comme conséquence immédiate de l'application aux fonctions doublement périodiques du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales de fonctions d'une variable imaginaire prises le long d'un contour, mais il nous sera commode, quand nous continuerons l'élude directe de la fonction rf, d'avoir ces relations, afin de pouvoir écrire nos formules sous une forme plus définitive; les nombreuses propositions de la théorie des fonctions elliptiques, d'une pari, se groupent, comme le verra le lecteur, autour d'un petit nombre de principes, et, de l'autre, se pénètrent mutuellement ; la digression que noiis allons faire évitera des répétitions et des renvois fatigants; elle aura d'ailleurs l'avantage de montrer immédiatement au lecteur le lien des fonctions que nous venons d'introduire, d'après M. Weierslrass, avec des questions qui lui sont certainement familières. C'est tout d'abord une relation, analogue à la formule

que nous allons établir. La fonction (ÏKJoue, à certains égards, le même rôle que la fonction

dont la dérivée logarithmique admet pour dérivée

de même qiie la dérivée de la dérivée logarithmique de rfw e — pu.

Les deux fonctions de u

LA. FONCTION du ET LES BONGTIONS QUI EN UËItlVRNI. 169

se rapprochent naturellement Tune de l'aulre; tout d'abord, elles sont toutes les deux doublement périodiques, avec les périodes 2W|, 2ti)3, ainsi qu'il résuhe, pour la seconde, delà formule (VI, ), qui montre que, si l'on remplace u par w + awa, le prodiiil tf{« + a)d[u — a) se reproduit multiplié par le facteur

exactement comme d-ti. D'ailleurs, des deus fonctions considérées, la première pu — pa s'annule pour toutes les valeurs qui annulent le numérateur de la seconde, el, ce qui importe surtout dans la démonstration qui va suivre, les pôles des deux fonctions sont les mêmes avec les mêmes ordres de multiplicité; ce sont les nombres s, qui tous sont des pôles doubles pour les deux fonctions; aux environs du pôle o, la fonction pu — pa se présente sous la forme

d'un autre côté, le produit d(a -+- «)a'(« — u) est le produit des deux séries

les premiers termes de son développement suivant [es puissances de u sont donc

d'ailleurs le développement de rf^ u commence par un terme en m-, avec le coefficient un, puisque celui de ^h commence par le terme u : on a donc, dans le voisinage du pôle o,

par conséquent, la différence

est régulière aux environs du point o; comme c'est une fonction

170 CALCCL UlFFÉREnTlEL.

(loublemenl. périodique, qui admet pour période l'un quelconque des nombres s, qui ne, peut pas avoir d'autres pôles que ces nombres, et que tout se passe auloiir de ces points comme autour du point o, il est clair qu'elle est régulière en tout point à distance finie ; c'est donc, en vertu du théorème fondamental de Liouville, une constante, et cette constante est nulle, comme on s'en assure en supposant u=: a; on a donc

(Vil,) pu~pa^~

c'est la première relation que nous voulions établir. 9S. EUe montre tout d'abord que l'équation

n'admet pas d'autres solutions que celles des équations

tf(<. + «) = o, tf(K-«) = 0, c'est-à-dire que les valeurs de u données par !a formule

on déduit de là sans peine une seconde démonstration de ce que aw,, atiia constituent un couple de périodes primitives pour la fonction doublement périodique pu.

Remarquons encore que les trois nombres poi,, pto^, pw^, qui joueront dans la tliéorie un rôle essentiel et que nous désignerons respectivement par e,, ^a, 63, sont différents; si l'on avait, par exemple,

on devrait avoir

+ (u, ES [u,-i- Wj (raodd. 3(0], 2 0)^}; 01' ces congruences entraînent toutes deux la suivante

(U3 ^; o (modd. a(ii|, awj), qui est impossible.