SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS

et la proposition est ainsi démontrée. H est à peine utile de dire que )a série équivalente au produit infini, dans laquelle la somme des n -h 1 premiers termes est égale à P„, est alors convergente.

Ainsi, lorsque les nombres a,, a^,, .. . , a„, . . . sont positifs ou nuls, la condition nécessaire et suffisante pour que

iiit une limite pour n infini est que la série

suit convergente. S'il en est ainsi, cette limite, qui est la valeur du produit infini

se représente par le symbole

ne-".).

■4. En supposant qu'on se trouve dans les conditions précédentes, nous allons démontrer que la valeur du produit infini est indépendante de l'ordre de ses facteurs.

Supposons, en effet, que, en rangeant d'une façon quelconque les termes (tous positifs) de ia suite

on obtienne la suite

hi, h., .... b,„ ..., et soit

Le produit d'autant de facteurs que l'on voudra pris, chacun une fois, parmi les nombres i -|- «n ou i + &„, est inférieur à P; donc le produit infini dont le n'*°° facteur est i + &„ est convergent et sa valeur est au plus égale à P. D'autre part, si l'on choisit arbitrairement un nombre Q plus petit que P, on peut déterminer un

6 INII10DU€TION.

enlier positif h tel que le produit

(i + ai)(! + «2)'--(' + «'')

soit plus grand que Q; si ia suite

il, Ih, ■■■, bk

contient tous les termes de la suite

au «5, ■■■, «/o le produit

dépassera Q; donc la valeur du produit infini

(, + 6,)(, + 6,)--. (' + *«)■■■ dépasse Q : elle est donc égale à P.

5. Supposons maintenant que a,, a^, ..., «„, ... soient de nombres quelconques, réels ou imaginaires : nous dirons que 1 produit infini

est absolument convergent, si la série est absolument convergente.

Nous allons montrer que le produit Pn des n premiers facteurs d'un produit infini absolument convergent tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Cette limite, qui est la valeur du produit infini, se représente encore par le symbole

ne*...).

Nous montrerons, en outre, que cette valeur ne dépend pas de l'ordre des facteurs et qu'elle ne peut être nulle que si l'un des facteurs est nul. Nous emploierons d'ailleurs, pour les produits infinis comme pour les séries, les mêmes expressions incorrectes (n"!) consacrées par l'usage.

r PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS.

6. Faisons d'abord la remarque suivante : Si, dans un polynôme entier en a, , «2, . . . , a„, à coefficients réels et positifs, on remplace «i , «î, ..., a„ par leurs valeurs absolues, on obtiendra la somme des valeurs absolues des termes de ce polynôme, et cette somme sera supérieure ou égale à la valeur absolue du polynôme. Or le polynôme

que l'on obtient en effectuant le développement de P«, a ses coefficients positifs : de même, si m désigne un entier plus grand que n, on voit de suite que le développement effectué de Pm contient, outre les termes qui figurent dans P„, d'autres termes à coefficients positifs; il en résulte que, si l'on regarde P», — P» comme un polynôme développé et réduit, les coefficients de ce polynôme seront positifs. De là résultent les conséquences suivantes :

Si l'on désigne en général par PJ^ le résultat obtenu en remplaçant, dans P„, a, , £12, - . . , «n par leurs valeurs absolues, on aura

P«â|P.|, P;«-PU1P«-P«| (m>«);

il est à peine utile de dire que P^ — Pj, est positif ou nul. Des inégalités analogues ont évidemment lieu, si l'on considère, à la place de P^, P», des produits formés avec un nombre fini de facteurs pris dans le produit infini, mais. qui ne sont pas les premiers facteurs de ce produit, pourvu que la première expression contienne tous les facteurs qui figurent dans la seconde.

Ceci posé, puisqu'on suppose convergente la série à termes positifs ou nuls

le produit infini, à termes positifs ou nuls,

est convergent : soitP' sa valeur. Puisque PJ, admet une limite pour n infini, à chaque nombre positif e correspond un entier po-

8 INTEODUCTION.

sitif p, lel que l'on ait

sous les seules conditions

on en conclut, d'après la remarque précédente, tjue, sous les mêmes conditions, on a

lPi.-Pvl<^

et, par conséquent, P„ admet une limite pour n infini. C'est la première des propositions annoncées.