La relation (VII,) conduit immédiatement à une relation

LA FONCTIOX iU ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. r7I

très importante, qui résulte de l'idenUlé évidente

En désignant par «, 6, c, u des nombres quelconques dont nous supposerons d'aljord qu'aucun n'est congru à zéro modulis aw,, 2 W3 et en posant

A = pa, B = p?', C = pc, D = p«,

(pM-pfl)(p6-pc)-^(pH-p6)(pc — pa)

-l-(p)i — pc)(p«— pi) = o.

En remplaçant les quantités JJH — pa, pb — pc, ... pur

et multiplianl par ri-iKi'^ad^b'i^C, il vient (Vil,) . +rf(«+6)3-(«-é)tf(c-H«)tf(c-«)

Le premier membre de cette égalité, élanl évidemment une fonction continue des quantités u, a, b, c et restanl nul lorsque quelqu'une de ces quantités s'approche de l'un des nombres congrus à zéro modulis 2iiif, 2(1)9, est nécessairement nul encore lorsqu'on atteint cette limite. L'égalité (Vll^) a donc lieu, quels que soient les nombres u, a, b, c.

Cette belle ideniiic offre ceci de remarquable qu'elle caractérise la fonction du; d'une façon plus précise, il n'existe pas d'autre fonction transcendante entière que la fonction rfu dont la dérivée se réduise à 1 pour « ^ o et qui jouisse de la propriété qu'esprime l'égalité (Vlla); nous renverrons pour la démonstration de ce théorème, dont nous ne ferons pas usage, au Traité des fonctions elliptiques de Halphen, t. I, p. 187.

97. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres de la formule (VII,), successivement par rapport à u et par rapport

Ija CALCUL Dll^FÉHENTlEL.

à a, on obtient les relations

pii — pa qui, par addition et sooslrac-tion, donnent

formule f[iic l'on écrit liaLitucllcmcnt

et qui porte le nom Ae foi-mule d'addition de la fonction 'Q. On a, en particulier,

En prenant la dérivée, par rapport à U, de la relation (Vil^), on obtient de môme W/ormule d'addition relative à la fonction pu

^ ■' ' ^ ■ ' ' 2 dii\pu — pa \

Dans ces i'ormules, tes sigaes supérieurs se correspondent.

98. Nous allons encore déduire de la relation (VII, ) une relation entre pu et sa dérivée p' u, qui nous amènera, dans un instant, à ce fait capital que la fonction pu vérifie une équation différentielle très simple du premier ordre.

On peut écrire la relation (Vil,)

en faisant tendre u vers a et passant à la limite pour « ^ «, on a donc, quel que soit a,

ET LES FONCriO.NS QUI EN DÉRIVENT.

Or la formule (H,), si l'on y remplace u par 2 m, devient

groupons les facteurs où m, n sont pairs, ceux où m est impair et n pair, ceux où m est pair et n impair, ceux où m et « sont impairs; en tenant compte de la formule (V,), qui donne, pour

nl(-

et en tenant compte aussi de la relation vi, + ï]2 + '1^3 ^ o, nous o!) tiendrons, pour la \aleur de <i[iiu), l'espression

On a donc

et, par suite, en changeant u en — u et en remarquant que les fonctions rf et p' sont impaires,

En multipliant ces deux égalités l'une par l'autre et en tenant compte de l'égalité (VII,) pour a = (lia, on a enfin

Mais les deux fonctions pu et p'u sont doublement périodiques et admettent le couple de périodes (aw,, a(i)3).La fonction transcendante entière

doit donc être aussi doublement périodique d'après l'égalité précédente; elle ne peut donc être qu'une constante, comme on le voit directement ou comme il résulte du théorème fondamental de Liouville. Or ceci exige que l'on ait

174 CALCUL DIFFtRENTlKL.

Ainsi la fonction pu et sa dérivée p'u sont liées pai- la relation

(Vils) p'=K==4(pM-ji<0i)(j)u — piUaXpw — pw^).

Nous en concluons, en posant

(VIU) pQ,a = e„, ei-i-e2+ea = o,

que la fonction de u, y^ pu. est une intégrale particulière de l'équation différentielle du premier ordre

dont l'intégrale générale est doncj' = jj((/ -h c), où c est une constante arbitraire. En prenant pour

\/i{r-er)(y-e,)(,j-e,)

celle des deux déterminations de cette racine qui est éga — p'u, nous voyons aussi qne les deux variables u et y=: sont liées par la relation

dy

car, pour u = o, on a y ^ rji.

99- Avant de passer à un autre objet, nous allons encore déduire quelques conséquences essentielles de l'équation différentielle du premier ordre à laquelle satisfait pu.

Et d'abord on peut écrire cette équation différentielle

p'^u = 4p'« + 4(e2ea -i- «jèi + ei^î) \^u — ^e^e^e^.

Remplaçons dans les deux membres pu et p' u par leurs développements en séries donnés par les formules (IV3) et {IV, ), que l'on peut écrire

p' !( = — — -4- 2 Ci M 4- 4 C3 O

LA FOMTION 'in KT LES FONCTIONS QUI EN rÉHlVENI. 175

en posant, pour abréger (IVi),

On aura alors

^ " "^ T^i ~^ '^ ~^ 3cj + ..., P'^"= ^ — -^'- — i6cs 4-.. .;

donc, en égalant, dans les deux membres de l'équalion différentielle, les coefficients de — ^ et les termes indépendants de u, on obtieot les deux relations

— 8f;, = i2C!-i-4(e2ej+e3fi,-i-fi,eO,

d'où l'on déduit

ÈKa-l-eaCi -hc,C5 = — 5c5 = f ^ " " Xd jï'

oe qui permet d'écrire l'équation différentielle sous la forme ( ' )

100. En prenant les dérivées par rapport à u et en divisant [jar p'u, on tire de celle équation

(') Comparez Eisemstein, loc. cit., p. a85. Les formules (5) et (6) sont identiques à nos formules (Vllj} et (VTIJ. Kronecker a proposé récemment, pour honorer la mémoire d'Eisenstein, d'écrire en{u) au lieu de pu, ie symbole en étant formé au moyen de la première et de la dernière lettre d'Eiseostein. Nous conserverons la notation de M. Weierstrass, qui a fait conuaiti-e le râle et la place de la fonction pu dans la théorie des fonctions elliptiques : celte noiation, d'ailleurs, est aujourd'hui universellement adoptée.

176 CALCUL DIFFÉRENTIEL

En prenant les dérivées encore une fois, on a (VIIO p'"« = iîp«p'w,

et l'on petit continuer ainsi el obtenir, en tenant compte chaque fois des équations précédentes, les dérivées successives de pu en fonction de p« et de p'u. On aperçoit sans peine qne ces fonclion-i sont rationnelles entières en pu el p'u; on peut même montrer que les dérivées d'ordre pair de pu sont des fonctions rationnelles entières de pw seulement et que les dérivées d'ordre impair de pu sont égales au produit de p'u par une fonction rationnelle entière de pu seulement.

Ce résultat, en effet, se vérifie de suite sur les formules précédentes pour les dérivées seconde et troisième; il se démontre ensuite par induction, sans aucune difficulté.

iOi. L'équation (Vil,) permet d'obtenir sans peine, par des calculs successifs, les coefficients c^, c-^, . . ., e,-, ... au moyen des deux coefficients

En remplaçant, en effet, p" u et p^'( par leurs développements e série, on trouve, après quelques réductions faciles, en égalai dans les deux membres les coefficients de u^""'', la relation

On reconnaît en particulier que, comme on l'avait annoncé au commencement, tous ces coefficients sont des fonctions entières à coefficients rationnels de g^ et de g^ et que, par conséquent, toutes les sommes telles que

où !• est un entier plus grand que 3, s'expriment par des fonctions entières, à coefficients rationnels, au moyen des sommes

r?- Ti

LA FONCTION tfM ET L1Î9 HOMCT10KS QUI EN UÈRIVENT. I77

Lorsqu'on se donne to,, (i>a, ces deux dernières sommes, ou, ce qui revient au même, les quantités g^ et ^3 sont déterminées sans ambiguïté.

Nous montrerons plus tard que, inversement, si l'on se donne les quantités g-2 et gj, telles toutefois que les racines e,, d, e, de l'équation

soient différentes, c'est-à-dire telles que le discriminant

tj = ^iffl ~ V ffl) = (e«.— e,y (e,- e^)-' (e, ~ e^y^

de cette équation du troisième degré soit différent de zéro, il existe deux nombres w, et (uj qui vérifient les équations (TV^)

et tels que le coefficient de i dans le rapport — soit différent de zéro (et môme positif). La fonction pu, formée avec ces quantités 2(D|, 2(i>a, satisfera manifestement à l'équation différentielle (Vils); elle sera, dans le voisinage du point zéro, représentée par une série de la forme

et, comme on vient de vérifier que les coefficients, Cj, C3, ..., Cr, ... sont entièrement déterminés par g^ et g^, on voit que ces coefficients g^ et gi déterminent sans ambiguïté la fonction pu, bien que, à la vérité, les équations (IV5) admettent une infinité de solutions Wi, oj^.

Cette remarque justifie la notation

P("; gîy gs)

pour représenter la fonction ainsi déterminée. La fonction ^u est d'ailleurs entièrement déterminée dans les mêmes conditions, puisqu'on doit avoir, dans le voisinage du point zéro.

yGoosle

Enfi condiuoiî!

CALCUL DIFFÉRENTIEL

fonction dit est aussi dcLermince s

i ambiguïté par les

au du - -■ ' ^ ' ! successivement

Ci il' c,u6

en sorte que l'on pourra employer les notations

pour représenter sans ambiguïté ces fonctions.

lOâ. Les équations d'iiomogénéilé (111) prennent une forme un peu différente avec ces nouvelles notations. En effet, quand on multiplie a>i et (1)3 par a, les nombres g^ et g-,, en vertu de leurs définitions (IVs), sont multipliés respectivement par -;i j : 011 aura donc

On observera que cette dernière relation se 1 sur l'équation différentielle

p'^a = ^p'a — g.pa — gi.

La fonction

doit en eifel véritlei' l'équation dilTérentielle

ciiielqiii

( ET i.iîs ïONCTioNS QUI ES dériyh:

\ du)

■tu) =i("-!)--s.c-i)-f..

qui s'obtient en changeanl dans (Vllg) pu en a^o; ces deux fonctions doivent donc être identiques, puisqiie, dans le voisinage du point zéro, leurs développements suivant les puissances de n doivent commencer tous deux par nn terme en -^•

103. La méthode précédemment exposée nous fournit le moyen d'avoir autant de termes que l'on veut dans les développements

de du, Zu ) TfU 7 en séries entières en u, chacun de ces

termes étant exprimé en fonction entière de g^ et de g). Il est utile d'avoir les premiers termes de ces développements, dont on verra plus tard l'usage fréquent. Nous transcrivons ci-dessous ces premiers termes

SÈ

aî.5

ffl

On rappelle que les deux derniers développements ne sont convergents qu'aux environs du point zéro.

Le lecteur rapprochera naturellement ces forniulcs des formules (IV).

m. — Représentation de o'u par un produit infini à simple entrée.

iOi. Nous allons maintenant reprendre l'étude directe de ia fonction dtt et chercher à transformer le produit infini à double entrée, qui définit rf«, en produits infinis à simple entrée.

Supposons n différent de zéro et désignons par P„ !e produit de toits les facteurs primaires de dit pour lesquels 11 a la même valeur. Un de ces facteurs

CALCUL niFFÉHENTIEL.

~ 2mW| + 27J(iJ3, esl. le produit des deus qni

ot- les deux produits infinis que l'on obtient en prenant respectîvemenl pour facteurs ces deux quanlltcs, où m prend toutes les valeurs entières de — oo à +00, sont évidemment convergents. Le premier produit

d'iiprès la formide {}/,), où l'on remplace 1.1 par ■— et a pai ^-, est égal à

l.e second est égal à une puissance de e dont l'exposant e quantité qui, en raison de la formule (I3), est égale à

Il reste à effectuer le produit des facteurs primaires où « -= o. Ce produit

LA FONCTIOK tf(( ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT.

esL égal au produiL des deux produits convergents

et

d'ailleurs (n° 69)

P„ = ~ i e^iwî .

oA Po esl supposé remplacé par sa valeur établie plus liaiil. GclLc formule, ayant été obtenue uniquement en groupant les facteurs du produit infini qui définit du, est valable quel que soit u; le produit infini à simple entrée est absolument convergent el l'ou peut en prendre la dérivée logaritbinique.

Comme la dérivée logarithmique de P„ est

on aura, en désignant cette expression par Q,;,

^ 12 Cl? 2;ù, 2Ui JU ^'

Cette dernière formule aurait pu être déduite très aisément de la formule (lia) en groupant ensemble les termes qui correspondent à une même valeur de n. On peul prendre la dérivée de la série

j83 calcul différentiel.

qui figure an second membre, terme par Lerme. Si donc on pose

On parviendrait d'aiUeurs à cette dernière formule par un groupement convenable des termes dans le second membre de l'équation (II3).

103. Ces formules se simplifient; cela résulte de ce que la série

est convergente, parce que Se rapport ~ est imaginaire.

Si, en effet, a cl b sont des nombres réels dont le dernier n'est pas nul, on a

donc, puisque les valeurs absolues des quantités

et que la valeur absolue d'une somme de deux termes est plus grande que la différence des valeurs absolues de ces termes,

\s\n(a-hbi)\ est supérieure à si 6 est positif, à —

si b est négatif; on a donc toujours

Si donc on désigne par p la valeur absolue du coefficient de i

l FONCTiOK 3'« ET LES FONCTIONS QUI EN BÉBIVENT.

et, pai' conséquent, la série considérée est absolnment convergente.

106. Ceci posé, considérons la valeur de du. Puisque l'„ est le produit des deux quantités

et que le produit infini

est absolument convergent et n'a pas une valeur nulle, il faut que le produit infini

Si d'ailleurs, dans ce produit infini, on groupe ensemble les termes pour lesquels n a des valeurs égales et de signes contraires et si l'on tient compte de l'identité

CALCUL DIFFÉltENTIEL.

. r[ii'il prend la forme

où le caractcre de convergence absolue est manifeste, puisque la

série

^ . . nu>:

est absolumenl. convergente.

On a donc finalement

régcr,

(Xi)

où l'on a posé, pour abrège

(XO

Le lecteur rapprochera naturellement la formule qu'on vient de trouver pour /iu de la formule d'Euler qui doone sinx sous forme de produit infini.

On aura de môme

, ,, , )li « Tt TTU T. v^''H u — 3n.tu.i niUî] (Xj) r,a= — 1 COt ~-^— > COtTÏ + ROtTi^ ■ !,

Si, dans l'avant-dernière formiilc, on fait w =: di, , ou trouve

en remarquant que, pour deux indices n égaux et de signes contraires, les termes sous le signe \ sont alors égaux et de signes

: ET LES FONCTIONS QUI EH DÉRIVENT. l85

contraires. Ceci montre que la quantité ■!!), définie parla formule (X.,), est hien la même que celle que l'on a définie plus haut par la formule ( VI^ ) .

107. On peut, dans les formules (X), échanger w, et 0)3, ce qui reviendrait d'ailleurs à grouper, dans le produit infini ou les séries qui ont servi de définition primitive, les facteurs ou les termes pour lesquels m est le même; 'r^, doit alors être remplacé

Les formules (VI), relatives aux changements que produit dans les fonctions du, X^u, pu l'addition de 2tû, ou awj à l'argument, ont été obtenues dans le n" 98 par une voie détournée; il importe de remarquer qu'elles se lisent en quelque sorte directement sur les formes (X) données à ces fonctions et sur celles qiii s'en déduisent en changeant u», en Wg, eu sorte qu'un groupement, d'ailleurs bien naturel, des facteurs primaires de du met en évidence ces propriétés fondamentales.