ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVRNV
égalités
en y remplaçant u par m ^ lo^ et en se rappelant que la fonction du est impaire.
Les dérivées logarithmiques de ces trois fonctions, que nous désignerons par Ça(w)i sont des fonctions impaires et s'annulent pour u =^ o. Elles peuvent être définies par les formules
{Xh) ïc:« = a« + '^«)-vi„ (« = !,,., 3).
Les dérivées des fonctions ^a.{ii-), changées de signe, ne sont autre chose que les fonctions
On montrera tout à l'heure que p[u -+- tû^) s'exprime rationnellement au moyen de p u.
m. Nous allons d'abord, par quelques exemples, montrer l'utilité de ces notations.
Envisageons, par exemple, l'expression trouvée pûur(j(a«) au n^OS. Elle pourra s'écrire maintenant
De même, l'expression obtenue dans le même n" 98 pour p' u peut, en tenant compte des égalités
s écrire ,
De même encore, la relation (Vll|), pour a ^ (Oh, pourra s'écrire maintenant
et nous pourrons, à î'aide de cette relation, séparer nettement les deux racines carrées de pu — e^ et, par suite, les racines carrées des sixdifïérences des nombres e^, e^, 63, ce qui nous sera bientôt très utile.
igo CALCUL niFFÉBENTIEL.
Nous conviendrons de désigner par la fonction univoque de u
En faisant u ^^ W3 dans la formule on a i3onc anssi
Ail moyen des relations (IV), nous pouvons trouver maintenant autant de ternies que nous voudrons dans le développement des fonctions s'a u en séries entières en u. En extrayant la racine carrée de pu — e», de manière que la fonction rf^M donnée par la formule
soit égale à + j pour u =^ o, on aura facilement
mais on n'aperçoit pas, par cette méthode, la loi do formation des coefficients.
H2. Nous allons maintenant développer pour les trois cofonctions des formules analogues à celles que nous avons déjà obtenues pour la fonction tf «. Ces formules résultent immédiatement des définitions, des formules (VI,,), (VII„), {VIIO> (XI,) et (Xia). Pour simplifier l'écriture, nous ferons, une fois pour toutes, la convention suivante:
Les trois indices a, p, y désigneront toujours les trois nombres entiers ], 2, .^, pris dans un ordre quelconque, de sorte que l'un des trois indices a, fl, y soit i, que l'autre soit a et que celui qui reste soit 3, Quand, dans nne formule, figureront deiis seulement des trois indices a, p, Yi on pourra donner à chacun de ces
LA FONCTION. *« BT LUS POWCrlONS QUI EH DÉRIVENT. igr
deux, indices l'une quelconque des valeurs i, 2, 3, pourvu qu'on ne leur donne pas la même valeur. Enfin quand, dans une formule, ne figurera qu'un seul des trois indices a, p, y^ il sera entendu que cet indice pourra prendre l'une quelconque des trois valeurs i, 2, 3.
Ceci posé, voici les formules annoncées, Oii les signes supérieurs se correspondent ainsi que les signes inférieurs :
1 tfa(i(-(-20)„) = — e=nJ''+»«>ira«, 5'c((« + amo)M-l-2n(op-t-ar(Uy)
(XIM >
(XII.) Ca(«±">„) = <« ±1a,
] eljMc = i— '— = -—__! .
Les formules (XIT)) se déduisent de la définition des fonctions tfaH {Xl| ) en supposant u = («a, u = wp et en se rappelant que d(2Ma) est nul, que Wy est égal à — wa— <op. Parmi les formules (XII2), la première résulte des formules (VI,); la deuxième et la troisième s'obtiennent en remplaçant dansles formules (XI,)
iga CALCUL LlFFÉnEKTlEL.
u par i( + 2«a ou (t + 2wp et en réduisant au moyen des formules (VI| ) ; la quatrième se déduit de la formule (VL) en y remplaçant « par î( + 2/'(i)î et en réduisant au moyen de la formule (Xe) qui montre que chacune des quantités "/laWp — vipWa est égale à ± — . En changeant dans la quatrième formule (XIIj ) u en u -\- Wd, on obtient aisément la cinquième. La première formule (XII3) ne diffère pas de la définition des fonctions rfa«; les premières expressions de (ia{u + <ùa), rfa(H-f-w^) s'en déduisent en changeant u en m -H Wa, u + tù^ et réduisant au moyen de la première formule (XIlj); en changeant ensuite u en — u, on obtient les expressions analogues pour <i'a{i( — ^a)': ^a{'i — <^3)- La seconde expression de ija(«±wg) se dédnit de la première en tenant compte de la seconde formule (XIT,); en remplaçant, dans celte seconde expression de (>„(« — wp), «par tog, on obtient une équation qui ne diffère que par les notations de la première formule (Xlïe), laquelle permet de ramener la première des expressions de rfa(« — t^a) à la seconde. Les autres formules (XIIo) s'obtiennent en remplaçant k respectivement par wp et Wa dans les expressions de a'(« -h (l'a)? 3'a(« + (op),
113, Remarquons encore que, si nous remplaçons dans l'expression -^- — ) obtenue dans le numéro précédent pour ^/e^ — e^, rfptda par sa valeur tirée de (XII)), on obtient la relation
(Xiii.) '''"-"^ = --'-ï0l7p-
Si l'on compare cette formule à celle qu'on en déduit en échangeant les indices , on a de suite la relation
D'ïiUeur., à ciu.e des fonmiles
LA FONCTION du ET LES FOXCIIONS QUI ES UÉRIVliNl.
Cl chacune de ces qiiantilés est égale à ± — ■
Dans le cas oii le coeflicient de i dans — est positif, on a
et, par conséquent,
Dans des applications très fréquentes, e,, e^, e^ sont des nombres réels tels que l'on ait
aussi convient-il d'écrire los relations précédentes sous la forme
Si !c coefficient de t dans - était négatif, on devrait elianger
114. Si maintenant, dans la formule (Xï,), on change u en : -t- (,)„, on a
or, en vertu des relations (XII3) et (Xlj), le second raemhn peut s'écrire
uiad'îo.^ C
a donc
(Xlils) p{u + ^^) = er^^-
pu-e^
formule qui est d'un usage fréquent dans les applications et qui pourrait se déduire aussi facilement du théorème d'addition relatif à la fonction pu.
T. et M. - I. i3
I9-I CALCUL DIFFÉRENTIEL
115. Les relations (XT.i) mellent en évidence des relations algébriques entre les fonctions ^h, rf, «, s'a;/,, (^j w; en effet, en éliminant pu entre ces relations, on trouve
(XIV,) *â«-^^« = (^p-^.}ï'«;
parmi les relations de cette espèce, il j en a évidemment deii\ d'indépendanles.
Signalons, comme conséquence de ces formules, \a relation
■M6. An moyen de ces mêmes relations (XI,), la formule fondamentale (Vil,) peut s'écrire
tf(H-^a.)tf(«^
- =pa-pu = ~
Si, dans cette dernière Ibrmide, on change « en <ï + Wa et si l'on lient compte des formules {XII5) et (XIj), on trouve
de même, en changeant u en u ■+- (u^, puis échangeant les indices * et j3, on trouve
(SV3) tf^{tt--a)a-a((i-«) = crâ«3'^a-(e„-^p)tf!«tff«.
Au reste, l'identité entre les deux seconds membres des deux dernières formules résulte aisément des relations enti-e les quatre fonctions rf, relations qui permettraient d'ailletirs de transformer de diverses manières les formules précédentes.
Nous joindrons de suite à ces formules d'autres analogues qui donnent les expressions des produits rf(i(-t-«)(3'„(î( — g), rff (« + a) rf^ {u — a) relatifs à deux fonctions d d'indices différents.
Observons d'abord que, de la formule (VII2), on peut déduire d'autres identités analogues où figurent les cofonclions, en ajoutant, par exemple, aux quantités u, a, b, c quelqu'une des
Li FONCTION (ÏM ET LES FONCTIONS QUI EN DÊniVENT. igS
quantiiës u,, m,, u^; nous nous contenterons d'écrire les deux suivantes :
.-Hc)tf (H-c)tf„(«H-&)a-((t-6)=o,
^^-i)tfp(«-&)tfa(c^-a)tf(c-a)
^ + c>rf^(«-c)crtt(«-H6)cr(«~S) = o,
donl la première résulte simplement de la formule (VII2) en augmentant toutes les quantités h, a, b, c de ~ , et donl la seconde résulte de la première en y remplaçant u par u -\-t^^; après avoir fait ces changements, on n'a plus qu'à réduire au moyen des formules (XIIs).
Si, maintenant, dans les relations qu'on vient d'obtenir, on suppose c^o, 6 r^ L>p, on trouve de suile, toujours au moyen des formules (Xlla) et après avoir divisé par d^m^ d u)^,
(XV;) ^^{u + a)iiu-a) = iua,u^^a^ya-<ia<ï^a>ï^uc^^u,
celle dernière relation, ai l'on tient compte de la formule (Xlc), s'écrit définitivement
(XV,) tfv(«+«)5'p(«-«)=3'-ïW^3M^ï-7tfp«+(ep-^j)^«3-„«ï«î^^(.
On obtient encore deux nouvelles formules, que nous nous dispensons d'écrire, en cbangeant dans (XV^) et (XV3) a en — a.
117, Nous allons mainletiant déduire de la formule (XV j) l'espression de p- el, en particulier, de p — qui nous sera bientôt utile. En y remplaçant a par u, puis u par - > on trouve
c^a w = <râ ^ tf ^ ^ — ( Ca- ep) tf! - a'? " ;
jgO CALCUL DiFFÉREiV'ÏIEI,.
en changeant a en p, il vient
d'où, en ajoutant et en retraiicliant,
Sans nous arrêter à ce fait, que ces formules mettent en évidence les valeurs de u qui annulent rf^» + s^u, d^"- — '^^i'-, cliangeons dans la première (3 en y et divisons membre à mcmljro; il viendra
vertu des formules (XI,i),
7p"— eï-r-/pi'-C,. p- fi,
— «y v/jJ « - Cg -i- ea i/j) (' -
luUipliant par \/pii — e^ -^ y')3u — Cy et tenant compU; Je
LA FONCTION tf« ET LES FONCTIOKS QUI EN DÉUIVENT. 197
el, en particulier, en supposant h ^^ Wa,
I] importe de remarquer que, dans ces formules, les radicaux ont ie sens précis qiii a été spécifié dans le n" 112,
118. On obtient immédiatement les expressions de rf) i(, rf^H, ^3 «, décomposées en facteurs primaires, en partant de leurs définitions (XI,) et en utilisant la formule (V,). On trouve ainsi
Cette formule met en évidence les zéros des trois fonctions rf( a.
En groupant les facteurs exactement comme on l'a fait pour d a et en eli'ectuant des réductions toutes pareilles à celles que l'on ;i rencontrées alors, on obtient successivement quelques identités intéressantes. Soit d'abord a=:;i. On remplacera partout, dans le second membre de l'équation précédente, — - — ■ par
alors, en appliquant les foimulcs (l3:i), on (rom'era, pour produit des facteurs où n reste le même,
Les deux facteurs mis entre crochets donnent naissance à dcf
igS CALCUL DIFFËKENTIlil..
produits infinis convergents dont le premier peut, en groupant les termes où /( a des valeurs égales et de signes eontraires, et en tenant compte de l'identité
co.(o - i.) tos(« ^ 6) = COS.- -iin>i,
d'ailleurs la valeur du second s'écrit immédiatement; oo a donc finalement
On a de mêmC; poui
En remplaçant, dans les trois formules que nous venons d'établir, u par M + 2(ù| par exemple, en tenant compte des formules (Xlla) et en comparant les nouvelles formules aux anciennes, on obtient les trois identités
(XVII,) jvi.^^.pw.^J^ 2-
yGoosle
LA FONCTIO.N rf« liT LES FONCIIONS QUI EN DÉniVENI, jgg
qui periiieltent d'écrire comme il suil les trois formules oLteniicf
(3) ^..=^-=o.!;iin
<4, .,....îSn[,--
En développant les seconds membres de ces dernières relations suivant les puissances de u, on obtiendra aulant de termes que l'on voudra dans le développemenl en séries entières en u, des fonctions paires rfnW, sans apercevoir toutefois la loi de formation des coefficients. Si l'on lient compte des trois identités précédentes, on verra par exemple, sans peine, que le coefficient de u^ est égal à ^i de sorte que
On retombe a
déjà obtenu a
.me autre voie, sur le développement (XI^)
119. Nous réunirons ici quelques remarques relatives mogénéilé, qui nous seront miles plus tard.
Imaginons que l'on forme d'abord les fonctions d, t„ p et les constantes r|a, Sa qui en dépendent, au moyen des quantités w,, ws, puis que l'on forme les fonctions et constantes analogues au mojen des quantités
(XVIII,) (o'i == Xuj,, (oi ^ Xw,, •,,; - - tu; — w;,
et désignons par -r^'^, e'^ les quantités analogues i aux nouvelles fonctions. Cherchons comment le; tions et les nouvelles constantes s'expriment au mojen det
i l'ho-
ïla, Éf^ relatives noiivelles fonc-
30O CALCUL DIFFÉBENTrei,,
Les équations d'humogénéilé (III) peuvent s'écrire
(xvni.) C(«IS,..;)=Jï('^l
Eli faisant « = o)',, u = (.>' et en se repo
qiiai
ux définitions des
on en conclut les relations (XVIlIifiw) "^^"1:' "^ = 7^'
Si maintenant on se reporte à la formule qui définit da{i.i.\^\-,'^'^, 3'(«+c.;|«.',,^)=--e''«V{<l<oi,to;)a'„{«]to'„ («',),
on en conclut, à cause des relations précédentes et en [ de la relation d'Iiomogénéité pour la fonction rf,
icnlie
et, par suite, en comparant à la formule qui définit da,{u\iiii, i>>a), mais on a (Xlf,)
donc (XVIIIi)
ce qui s'accorde d'aillenrs avec les résultais antérieurs.
Ainsi les quantités -/ja, ^ea — e^ sont des fonctions homogènes
LA FONCTION ÏH ET LES FONCTIONS QUI EN OfiRIVEST. 201
de w,, lûj el du degré — i ; le rapport de deux de ces quanlités ne dépend que de —
120. Nous lerminerOES ce paragraphe en disant quelques mots d'un cas particulier, très important d'ailleurs, de façon à per- , mettre au lecteur, au moins dans ce cas, de se représenter l'ensemble des résultats acquis d'une façon moins abstraite.
Supposons W| et -4 réels et positifs. Si l'on suppose en outre
que la variable u soit réelle, on voit que la fonction du est réelle. Cela résulte aisément de la première définition de tfi(, en groupant ensemble les facteurs pour lesquels les valeurs de s sont conjuguées, c'est-à-dire sont égales à
d'ailleurs la chose apparaît nettement sur la formule (X,); la formule (Xi) montre que ï], est alors réel ftl^ositif.-Les fonctions Î^H, pu sont aussi des fonctions réelles; les invariants ^^ ^^ ^a
sont réels-, -^ est réel et«iégattf (X^); e,= pi^u Cs=z più^ sont des quantités réelles, puisque pu est une fonction paire; e^ est donc aussi réelle; les formules (XVII) montrent que les fonctions dg^u sont aussi des fonctions réelles.
Examinons maintenant le signe des fonctions d dans la même hypothèse.
Quand u croît à partir de zéro, du augmente d'abord, puisque d'{o) ^ I ; cette fonction commence par être positive et reste positive tant que u n'a pas atteint le premier zéro au, de du; ce /.éro est simple : donc, si u continue de grandir, du change de signe. Dans l'intervalle (o, 2ii»i), d« est positive; dans l'intervalle (aw), 4wi), du est négative, et ainsi de suite. Pour « ^ o, la fonction d, u est égale à un; elle reste positive jusqu'à ce que u atteigne la valeur w, , puis elle est négative dans l'intervalle ((0|, 3ti),), etc. Les fonctions rf^M, d^u, qui sont égales à i pour u = o, restent positives pour toutes les valeurs réelles de «, puisque leurs zéros sont imaginaires.
Considérons de même les valeurs purement imaginaires u = iu'
20a CALCUL DIFFÉRBNTIEL.
de rargiimenl; la fonction — .- est réelle, et l'on voit de même qu'elle est positive quand i(' est compris dans l'intervalle lo,--^), négative quand u' est compris dans l'intervalle l-^i — -)' etc. Pour ce3 mêmes valeurs, les fonctions paires d^ u soni réelles ; si u' est positif et voisin de zéro, les trois fonctions sont positives; tftU et rfau, n'ayant pas de séros qui soient purement imaginaires, restent toujours positives; au contraire, n'a u admet comme zéros purement imaginaires les multiples impairs de Ug, en sorte que celte fonction est positive quand u' est compris entre zéro et -■:' , négative quand u' est compris entre -^ et 3 -'. ete.
