Si l'on se reporte aux formules (XI

on voit par ce qui précède que y/ci — €3 , y'ci — e-i sont des quantités réelles et positives; au contraire, ^63 — Ca est une imaginaire pure et iy/ë^— -Ca est une quantité positive, puisque rfatoj est positif ainsi que — r^; \/eî — £3 , qui est égal à — i\/ei — e-2 (XIII.,), est donc un nombre négatif. On déduit de là d'abord que les quantités réelles e,, e^, ej sont rangées par ordre de grandeur décroissante; leur somme étant nulle, la première est positive, la deniière négative. Enfin, des trois radicaux à valeur réelle

les deux premiers ont la signification arithmétique, tandis que le troisième est négatif ( ' ).

(') C'est là l'inconvénient du système de notations que nous avons adopté et sur lequel nous nous sommes expliqués daas la Préface. M. Weierstrass, suivi en cela par M, Schwarz, au lieu des quantités u,, u,, u,, avait introduit les quau' tités ui, iii', (j]" = bi H- u' ; on fait coïncider les deux notations en supposant u = u„ a' = uij, in' — — uij, puis T, = T\,, T|' — Ti,, 11" — — fil- Dans les Forinetn uiid Lehrsàtae de M. Schwarz, \/e,— e, et '\/e^~e, représentent les quantités que nous désignons par les mêmes sjraboles, changées de signe.

LA FONCTION du ET LES FONCTIOJSS QL'I EN DÉRIVEHr, :î03

122. Considérons maintenant la fonction pu. Si u est réel et un peu plus grand que zéro, pu a des valeurs positives très grandes, puisque, dans les environs de m ^ o , la différence pu j reste finie. Reportons-nous aux formules (XI),

j)' ;t ^ — a -^ ^^ ^ = — 2\/jj« — «ii/pw — ej/P" — «a;

on voit qucj dans l'intervalle (o, Wi),p'« est négatif; pu décroît donc de +00 à e, ; si « continue de croître, rf) u change de signe, et, dans l'intervalle (w,, 2Wt), pu croît de e, à +00 ; ensuite, à cause de la périodicité, p h reprend les mêmes valeurs. Ainsi, pour des valeurs réelles de u, la fonction pu reste supérieure à e,, 62, (îj, ce que, d'ailleurs, la formule (XI^) met en évidence.

Envisageons aussi les valeurs iu' purement imaginaires de l'argument u; la fonction paire pu est réelle pour ces valeurs; pour de petites valeurs de u', elle a des valeurs négatives très grandes. La dérivée de p{iu') par rapport à u' est d'ailleurs

en désignant par p'(iu') ce que devient p' u quand on y remplace if par iu'; quand u' est compris entre o et ~, les trois fonctions

rapport à u' reste positive; donc, quand u' croit de o à -!'-, p{iu') croît de — co à e^. Lorsque u' traverse la valeur -.'. ri^i^iu) s'annule et change de signe : donc, lorsque u' croît de -;^ à 2 -^ , p(*'"') décroît de Cj à — so , La fonction reprend ensuite périodiquement les mêmes valeurs.

On a d'ailleurs (Vir,5)

[^P'('«')r --ap('"') ~ ^.] [P('«')- «.] [P("0 ~ «d et, par suite, lorsque u' est compris entre o et -^i

ip'(.iu') = -r-^p(iu') = 2^[e,-p(ia')][e,-p[iu')\[e,~p(M)\,

yGoosle

CALCUL DIFFfiBBXTlEr.,

membre doîl êlre positif.

Il résulte de cette analyse que l'on a

^^^ r" dy _____ ,^ r" dy

J,, ■>.,/(y — e:){y — e^liy — Ei) Je, ^/hy^—g'Ly —

' J^2</{e,'-y)(e,-y)(e,-yj J„

les radicaux étant pris avec le sens ariihmétiqne.

On a donc exprimé, dans ce cas particulier, Wj, Wj au mojen de g^, g3; on a résolu en quelque sorle, par rapport à w,, Wj, les équations {IV5); mais il reste évidemment à résoudre la question suivanle, qui se pose d'elle-même.

Etant données (') les quantités réelles ^2, ^3, telles que l'équation

ait ses racines réelles, désignons ces racines, rangées par ordre de grandeur décroissante, par g), e^, «a; déterminons les quantités w,, »i>j parles formules précédentes; aura-t^on cfFectivement

C'est là en effet ce qui a lieu. Quoiqu'il ne soit pas difficile de le démontrer, nous renvoyons cette démonstration à plus tard, afin de pouvoir réunir ce qui concerne les différents cas.

Observons enfin, en restant toujours dans le même cas, et relativement à la fonction pu, que, à cause de la relation (VII(), qui montre que l'on a, a et fc étant réels,

la quantité p(a ■+- bi) ne peut être réelle que si le facteur 'i2bi est nul; ceci ne peut avoir lieu que si b est un multiple de -4-, et, s'il en est ainsi, p(a + ii) est en effet une quanùté réelle.