L.V FOMCIION Cf« ET LES FONCTIONS Qljl RN DÉRIVENT. 2o
V. — Transformatioû linéaire des fonctions <i. — Substitution aux périodes primitives de périodes équivalentes.
123. On a vu déjà, sur de Dombreux exemples, le parti que l'on peut tirer de l'application à la fonction du de ce théorème : dans un produit infini, absolument convergent, on peut intervertir l'ordre des facteurs et grouper ces facteurs comme l'on veut; c'est là le grand avantage des notations de M. Weierstrass sur celles d'Eisensiein. D'autres conséquences essentielles de cette proposition vont apparaître dans ce qui suit; elles se rapportent aux éléments de la théorie de la transformation.
Nous avons montré comment on pouvait construire une fonction <iu au moyen d'un couple de deux nombres à rapport imaginaire 2W,, 20)3 et engendrer, au moyen de celte fonction, une fonction doublement périodique admettant 2(0,, 2(1)3 pour périodes primitives ; nous allons montrer (n" 125) comment il existe une infinité dénombres 2fli, '2K3, liés simplement à aw,, 2(03, au moyen desquels on peut engendrer les mêmes fonctions du, X^u, pu.
Mais voici d'abord quelques remarques et définitions qui vont nous servir à caractéiiser ces nombres aiii, aûj.
Soit, en général, F(k) une fonction univoque doublement périodique et admettant 2m,, aw, pour couple primitif de périodes.
Posons (KIXj) ùi = awi-h i(U3, Sis = cw,-H </w3,
en désignant par a, b, c, d des entiers tels que le déteruiinanl (t) = arf — bc ne soit pas nul. On observera d'abord que, dans le rapport —, le coefficient de i est différent de zéro et qu'il a le
même signe que dans le rapport —, ou le signe contraire, suivant que ad — bc est positif ou négatif. Si l'on suppose, en efi'et,
œ, p, A, E étant réeb,
2o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Il est clair que tout nombre de la forme 2 ^q, -h avijs, où [x, v sont des enliers, est une période de la fonction F(f(), et il est clair aussi qu'un nombre, s'il peut être mis sous cette forme, ne peut l'être que d'une seule façon (puisque le rapport — est imaginaire), et cela même si l'on suppose seulement a et v réels.
124. En résolvant par rapport à w,, (O3 les équations qui définissent sii, £13, on obtient
"' = 5 "'-il"" "■■=^o°°'-5i''''
les quantités w, , w.t ne pourront donc être mises sous la forme |j.si| -l-Viia, [j- et v étant entiers, que si les coefficients iti' "TcT' "70"' Ta ^'^^^ entiers, et s'il en est, par conséquent, do même du déterminant de ces coefficients, c'est-à-dire de
il faut pour cela que (î) soit égal à ± i .
Inversement, s'il en est ainsi, il est évident que les quantités 2(ij|, 2(ij3 et, par suite, toute période de la fonction F(î(), pourront être mises sons la forme 2[jliJ| -I- avfia, p. et y étant enliers. En d'autres termes, si l'on continue à désigner par m, n, y., v des nombres seulement assujettis à être entiers, on peut affirmer que, si CD est égal à ± 1, à cbaque nombre 2[Aai + avos correspond
) nombre amco, -\- anwj, et un seul, qui lui est égal, à savoir celui pour lequel on s
, qui
n = hiL^d-i,
et que, à chaque nombre 2miù) + a/idij, correspond u 2[j.fl| + 2yii3, et un seul, savoir celui pour lequel on a
(S|j. = md— ne, (01 =-
Lorsque (D est égal à it i , nous dirons que le couple (2 a, , 2 n,), défini par les formules précédentes, est équivalent au couple (2tij|, 2(i)j). Les deux couples sont proprement ou improprement
LA FONCTION rf« ET LES FONCTIONS QUI EN DÉKIVENT. 307
équivalents selon que (B esl égal à -f- 1 ou à — i ('). Nous ne considérerons plus tard que des couples proprement équivalents, afin que le coefficient de i ait le même signe dans — et — ; mais, loul d'abord, cette restriction n'est pas nécessaire. ; remarquer que, si le déterminant
est égal à ±1, deux noiïiljres a, b, c, d, pris dans une même ligne on une même colonne, ne peuvent être pairs simultanément.
11 résulte de ce qui précède que si le couple 2K,, 2B3 esl équivalent (proprement ou improprement) au couple 2(0|, aiû, et si l'on forme un réseau de parallélogrammes au moyen de aûi, 203, comme on en a formé un au moyen de au,, awj, les sommets des deux réseaux coïncideront; nous laissons au lecteur le soin de montrer que les aires des deux premiers parailéîogranimes des deux réseaux sont égales.
12S. En supposant toujours lescouples (au), 2ft3)et(awi, aua) proprementou improprement équivalents, nons allons maintenant montrerque les fonctions rfu, Çh, pu, formées au moyen du couple (aa,, aûs), sont identiques aux fonctions <iif, Ç«, p«, formées au moyen du couple (atu,, 2W3) : en d'autres termes, on a
I (2) tf(«|a„s,) = :^(«|a>i,u.3),
(XIX) . (3) a"|û!,fi.)-C("|"'„"<s).
\ (4) p(«|si„aO = p("l"^b"^a);
les deux dernières égalités sont d'ailleurs des conséquences évidentes de la première.
On vient de voir qu'on pouvait établir entre cliaque système de nombres entiers m, n et chaque système de nombres entiers Y-, V une correspondance telle que, si l'on pose
aoS CAlCUt 111FFÉRENT1KL.
les nombres s, s soient égaux quand les sjslèmes (m, n) d'une part, ( |j., v) de l'autre, se correspondent et que, réciproquement, cette égalité n'ait lieu que dans ce cas. D'ailleurs les systèmes [A ^ O, V ^ o et m = o, n ^ o se correspondent ; par conséquent, les deux, produits infinis
et
ne diffèrent que par l'ordre des facteurs; on a donc Lien
tf(«j<.„«j.) = tf((i|n„n,).
Le même raisonnement (d'ailleurs inutile) s'applique aux séries qui représentent les fonctions ^u, pu.
126. Les deux séries entières en a (IV,), qui représentent !i(u I W) , Wa), rf(M I a, , ùs) doivent donc être identiques terme à terme; c'est d'ailleurs ce qui résulte de l'expression des coefficients; on a, par exemple (IV^),
=2"i' 7ïo^'=E''i'
et il est manifeste que la substitution des nombres s aux nombres 5 ne change pas la somme des séries qui figurent aux seconds membres; l'ordre des termes seul est modifié. C'est ce qui justifie la dénomination A' invariants donnée aux nombres g-^, gi-
127. Voyons maintenant quelle modification apporte aux fonctions rf)«, d-iU, <if,u, Ç|«, ÎJijH, î^gK la substitution du couple de périodes 2Q|, 2^3 au couple de périodes au,, 2CÙ3.
En définissant d'abord, par analogie, un nombre a^ par l'égalité
et posant ensuite
