I.A FONCTION -iu HT LUS FONCTIONS Qfl EN I

OD obùendra de nouveau

Hitia— llani = («tî— 6c) (ï,ni)3—f,j eu, ) ==:(■(! I (1)3— )]3u)i),

OÙ il faudra prendre le signe + ou le signe — suivant que le couple 2ft,, 2 ils est proprement ou improprement équivalent au couple primitif atii,, auj. Quoi qu'il en soit, Hiiis— uaSi, est donc, comme {n" 92) ïi|(J3 — 'la'Ji, un multiple impair de —• Il résulte d'ailleurs du n" 108 que ■r,t<^j — ta^t est égal à

H ou à — ^ suivant que le coeflicient de i dans — est positif

ou négatif. Nous avons vu, d'autre part (n" 123), que le signe du coefficient de i est le même ou est opposé dans les deux rapports — et ~» suivant que le couple a£2,, 2123 est propi-ement ou improprement équivalent au couple afO|, 2(03. Donc, dans les deux cas,

(XX3) iiiiïi— Hjfl, =:£: ^,

où il faut prendre le signe + ou le signe — -, suivant que le coeificient de i dans le rapport — ^ est positif ou négatif.

128. En désignant toujours par s l'une quelconque des valeurs 2().S2, 4- 2vii3, où |j, et V sont deux entiers quelconques, on voit que le noraljre

est congru modiiUs 1l^)^, au, à quelqu'un des nombres s ^ to,, s — W2, 5 -^ (03 ; on sera dans le premier cas si a est impair et b pair, dans le second si tï et 6 sonl impairs, dans le Iroisiùme si a est pair et 6 impair.

Supposons, pour fixer le langage, qu'on soit dans le premier cas. Si l'on se reporte à la formule (V,), on aura, en y remplaçant

aïO CALCUL DlFFÉliENTIEL,

«par w,,

Si, dans le second memLre, on remplace s par s cl d, par a,, on voit de suite, par un raisonnement identique à celui du n" 124, que, à chaque système d'entiers m, n, on peut faire correspondre un système d'entiers [a, v, de manière qne les nombres s — w,, s — a, soient égaux si les deux systèmes se correspondent et que, réciproquement, celle égalité n'ait lieu que dans ce cas; le second produit infini a donc la même valeur que le premier ei l'on a

^■(U+IOllQil

tf(<u,|u>,,«>

□■(«H-fliIft,

, Ûa)

Mais on a

et, dans le cas qui nous occupe, où a csl impair cl pair, on u évidemment

p(£l. I «>], "la) = Plui ] ui, w^) ^ e,.

Si donc on se reporle à la définition de U fonclioii d, u (n" HO), on voit que, dans ce cas, l'on a

D'aillcurs, comme ad — bc est égal à ±: i , rf est, dans le cas qui nous occupe, nécessairement impair.

Si c est pair, on a

p{a% \ £1,, £!a) = P(i"î I wi, W3) = «3,

donc, en remplaçant a par (o^ dans la formule (Yt) et raisonnant comme tout à l'heure, on aura

yGoosle