L.l fONCTlON rfM ET LES FONCIlOiNS QUI EN CÉRIVIÎNT. 2l

nation, et nous réunirons tous les résriUats dans un Tableau ; le lecteur n'aura aucune peine à vérifier ces résultats. Pour éviter toute ambiguïté, nous conserverons la notation ^£p — En quand même nous saurons, dans chaque cas particulier, auxquelles des racines g], e^, e^ sont respectivement égales les quantités Ep, r,a, parce que, autrement, on serait amené à écrire deux fois le même symbole, nti radical cari'é portant sur une différence de deux des quantités «i, Ca, 63, avec deux sens différents.

Enfin, dans ce numéro, nous supposerons que le coefficient de i dans -— est positif, et que ad — bc est égal à i ; le lecteur traitera sans peine les autres cas. Dès lors, îe coefficient de i dans -■'- sera aussi positif, en sorte que les formules (XIII,) s'appliquent aussi bien aux quantités y^Ea — Ep qu'aux quantités \/e„ — cp; en d'autres

et il suffira d'avoir les résultats pour les trois radicaux \/e-, — t:^, v/e, — Es, \/ei — Sa-

Nous désignerons, pour abréger, par a', b', c', d' les quotients entiers de la division par 2 des nombres a, h, c, d pris de façon que le reste soit toujours o ou 1 ; par exemple, dans le cas 2" du Tableau (1 = 1, p. = 3, v z= 2), on aura

et l'égalité montre que l'oi

/i{a'd'—b'c')-vi.a' + -id' — ih' = Q--, iéquent, «.'+ d' — b' est pair, donc aussi a' -{- d' -\- b'.

1 ] 4 CALCUL DIFUÉBENTIEL.

A chacun des cas dic Tableau correspond un résuUat de même nature; tous ces résultats sont compris dans le Tableau suivant où, en face du numéro d^ordre de cbaque cas, on a placé la congruence correspondante prise suivant le module 3

Remarquons encore que, en vertu des formules (XII^), quels que soient les entiers p et q, les relations

;( + 3/>u.,-Ha?W3)

B-Ha/KOi-t-içiOa)

■ïx

«-1-3/J(0,+ 5ÇW,)

(t-+-'i/llU,-V-MÇIU3)

Ceci posé, revenons an cas a" que nous traitons comme exemple; on a alors, en convenanL de ne pas écrire les demi-périodes quand elles sont (o,, w,,

tf,(»la,,n.) = J,.i,

(^jlfli I ail 03) ■i^(^'

»(!i,|ai,ti,) ï(2«'», + f

FONCTiOMS QUI liN MniVENT.

q':,(aa|fli,n3) a'(Û2]!i„Û,)

gî[— a(<i'+c'-H)Mi — a(fc'+d')Mi— u),]

3'[— 2(<l'-HC'+l)wl~a(*'-f-rf')u.3— (U3]

la dernière cgalûé provenanL des formules (XlIIf); enfin ,■ -■- ^i<a, 1 fti, Q3)

Les cinq autres cas se iraileront de la même façon, et tous les résultats se trouvent résumés dans le Tableau suivant : la première colonne contient les numéros d'ordre des six cas; la seconde, la troisième et la quatrième colonne contiennent les va-

((+1 (—0 ^ /ei— i^j

<-,;tv,,,.

2l6 CALCIJL IllErÈRENTlE!,,

"VI. — Transformation d'ordre quelconque des fonctions tf. — Substitution aux périodes primitives de périodes nouvelles liées linéairement aux anciennes.

130. Nous avons montré ce cjuc devenaient les fonctions du., d^ H, d^ii, d^u quand, au lieu de les former au moyen des demipériodes ti)|, (03, on les formait au moyen àes demi-période. s (■((0, + fo(i)3, cw, + dd),, oii a, h, c, d sont des entiers liés par la relation

ad— hc = i.

11 est naturel de cliercher, d'une façon plus générale, quel lien existe entre les fonctions

tf(«[«„toj), tf^(«|<o„,o,) (c< = i,^, 3), d'une part, et les fonctions

d'autre part, lorsqu'on suppose

où a, b, c, c/sont des nombres entiers assujettis seulement à cette condition que le déterminant

ad —hc^Cù ne soit pas nul.

Le problème peut d'ailleurs cire notablement simplifié. Nous prouverons en effet, dans le numéro suivant, que, si l'on suppose w, , 0)3, Si, , SI3 liés par les relations qui précèdent, il existe, d'une part, un système (to,, to^) proprement équivalent à {w,, W3), de l'autre, un système {ii\, iSj) proprement équivalent à (ûtjfts)? tels que l'on ait

\, ^ étant des nombres entiers assujettis seulement à ces deux conditions : 1° leur produit est égal à (B ; 2" leur plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres a, b, c, d.

Dès lors on voit que le problème posé sera résolu si l'on sait