LA FONGTIOH ^U KT LES FONCTIONS QUI O DÉRIVKST

quel lien existe entre les fonctions

et les fonclions

el ce dernier problème se décompose lui-même en deux : passer des fonctions d, rf,, d-,, rfs, formées avec un système de demi-périodes W), wj, aux mêmes fonclions formées avec les mêmes demipériodes dont l'ane ou l'autre est multipliée par un nombre entier ou divisée par un nombre entier. Comme le système (wi,wa) est improprement équivalent au système ( — wi, wa), on voit même que l'on peut se borner au cas dans lequel le multiplicateur (ou le diviseur) est un nombre entier positif. C'est le problème qui nous occupera quand nous aurons démontré le tliéorcine annoncé.

131 . Ce théorème, si l'on ne tient pas compte pour un momeni des conditions imposées aux nombres )., fx, revient à dire que, en supposant ii|, Sj définies par les relations

(a) Sii = au), + f>'U3, £i:t = CiO|+ rfuij,

OÙ rt, b, c, d sont des entiers tels que

( 6 ) (Q = ad~bo

ne soit pas nul, il existe des nombres entiers œ, p, y, S, a', fi', f', S' liés par les relations

et tels que les relations (a), jointes aux suivantes

i B'i = a'sji-l- p'Sia, il'a — 7'ai-l-ô'ii3, entraînent les relations

où \ y. sont des entiers. Cela revient encore à dire qu'on peut satisfaire, au moyen des nombres entiers c, p, y, 5, a', ^', y'i

aiS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

S', 'K, jx aux relations (c;), d'une parr,, cl., de l'autre

( a-( +Cù:^ [I-f

qui s'obtiennent en éliminant w',, w',, ii,, Sij enire les relations (a), («Oî ('^)i '^^ V^^ fournit les équations

et en écrivant ensuite que les coefficients de w,, (d, sont respectivement égaux dans les deux membres.

Des équations (e), on déduit d'ailleurs immédiatement

(aS - p-f)X[x = tad~/>c)(^'i'- 'fi'-;-),

ce qui montre, en tenant compte des relations {<:), que l'on doit

Ceci posé, supposons d'abord que a, 'c soient premiers entre eux et choisissons deux entiers arbitraires x, y tels que l'on ait

on tirera de là et de la première des équations (e)

d'où l'on déduit sans peine qu'on doit avoir

h étant un entier arbitraire ; ces formules fournissent d'ailleurs la solution la plus générale de la première équation (e) quand on y regarde a', p' comme les seules inconnues. Si, dans la troisième équation (e), on regarde de même -fi ^' comme les inconnues, la solution la plus générale de ces équations sera fournie par les formules

iff) ■;■= i,.-!x-hkc, S'= ii-(y-ha,

k étant un entier arbitraire.

LA FONCTION tfH j;t i.LS FOPiCiioss QL1 Elv uÉRivEM. aig

Si l'on subiiluic, dans la deuxième el la quatrième des équations (e), les valeurs de a', |î', y', 5' données par les quatre formiiies (^'■), on trouvera, après des réductions faciles, en tenant compte de (/),

D'un autre côté, si l'on forme, au moyen des formules (g)^ l'expression a'S' — ^V, on trouve de suite qu'elle est égale à

ce qui montre que l'on doit avoir

Inversement, si l'on peut trouver des nombres entiers X, [a, a, y, A, k tels que l'on ait

le problème sera résolu; car, une fois ces entiers trouves, si l'on détermine fi, 5 par les équations (A) et et', p', y', 3' par les formules (§■), il résulte de l'analyse précédente que les relations (a) et {d) entraîneront les relations («').

On voit, à cause de (A"), que \ |* doivent être choisis premiers entre eux; on décomposera donc lO en un produit de deux facteurs \ [JL premiers entre eux; on choisira ensuite des entiers A, k de façon que les entiers [jlA et "kk soient premiers entre eux; enfin on choisira a, y de manière à satisfaire à l'équation

On peut prendre en particulier \^=: ad ~ Oc, ia =^ i .

13ïi, Supposons maintenant que a et c ne soient pas premiers entre eus, mais que a, b^ c, d aient pour plus grand commun diviseur l'unité.

On commencera par substituer à to,, d^ des nombres proprement équivalents w',"', Wg"', définis par les équations

CALCUL DIFFÉHKNTIKL.

S étant des entiers qui vérifient k l'ekl

a = cp -h dr, do = cq -^

Or il est aise de voir qu'on peut choisir les nombres 7!, r premiers entre eux de façon que «o, Co soient premiers entre eux. Il faut évidemment, pour cela, prendre r premier au plus grand commun diviseur de a et de c, puis p premier d'une part à )\ de l'autre au plus grand commun diviseur de 6 elde cf. Si/>, /■ satisfont à ces conditions, il est clair que a„, Co ne peuvent avoir comme diviseur commun un facteur premier divisant soit p, soit /■, soit le plus grand commun diviseur de b et d, soit le plus grand commun diviseur de a et c. Nous imposerons encore une autre condi-

Décomposons (Si en deux facteurs premiers entre eux A et B; A comprendra tous les facteurs premiers de (D, pris avec leurs exposants, qui divisent le plus grand commun diviseur de o et c; B sera formé des autres facteurs premiers. Nous prendrons pour ;■ un multiple de B, ce qui n'est évidemment pas contradictoire avec les autres conditions auxquelles/?, /■ restent soumis. Mais, en éliminant p entre les équations qui définissent «„, Co, on obtient

ce qui montre qu'un diviseur premier de «„, c„ devrait diviser A, B ou /■. Gela est impossible, puisqu'il ne peut diviser ni ?•, ni B qui est un diviseur de r, ni A qui est composé des mêmes facteurs premiers que le plus grand commun diviseur entre a, c.

Les nombres premiers enire eux />, /■ étant ainsi choisis, on choisira q, s parmi les entiers qui vérifient l'équation

et l'on aura trouvé le couple (w','", (■ij"') satisfaisant aux conditions imposées. Des lors, puisque Oo, Cq sont premiers entre eus, on