ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT, 22J

pourra, comme il a été expliqué plus haut, trouver des nombres w,, Wj proprement équivalents à u',"', to'j"' et, par suite, à W), (Oj, et des nombres a',, ûj proprement éc|uivalents à fli, n^ tels que les relations (a) entraînent les suivantes

')., [A étant des entiers assujettis seulement à être premiers entre eux et à avoir pour produit ad — bc.

133. Si enfin ii, b, c, d ont un plus grand commun diviseur m , on écrira les relations («} sons la forme

n h ,■ d a, = — mu,-; mujj, nj= — ï/iM,H "IW3,

et l'on est assuré, par ce qui précède, de l'existence d'un système {m<û\, »iWj) proprement équivalent à (mw,, inws) et d'un sjs- . tème (il',, û!,) proprement équivalent à (iii, sij), tels que les relations précédentes entraînent celles-ci :

X, ^ étant des entiers seulement assujettis à être premiers entre

eux et à avoir pour produit 1 D'ailleurs, si les systèmes

(wiiùi, /nwj) et (nid)',, HîWj) sont proprement équivalents, il est clair qu'il en est de même des systèmes ((Oi, w^) el (w',, w!,). Puisque le plus grand commun diviseur de Xm, y-m est m et que le produit de ces deux nombres est ad — bc, le théorème énoncé au début est entièrement démontré,

13i. Nous allons chercher maintenant à exprimer les fonctions d, !^,p formées avec les périodes - — - 1 awaau moyen des fonctions d,'Ç, p formées avec les périodes 2W,, 20)3; n est un entier positif.

Partons de l'expression de <ï ( « -- - , (03 1 décomposée en facteurs primaires (11, )

I l'on suppose

et oi'i [i, V doivent prendre toutes les valeurs entières positives, nulle ou négatives, à l'exclusion de la combinaison [jl = o, v = o.

Nous allons grouper ensemble tous les facteurs primaires pour lesquels les nombres [i. sont congrus suivant le module n; en multipliant ensuite tous les produits relatifs à n nombres choisis arbitrairement, mais telsqueladifl'érence de deux qiielconi^ues d'entre eux ne soit pas divisible par n, il est clair que nous aurons employé Ions les facteurs primaires de o'f» — j (03I et que celte fonction sera égale au produit considéré.

Soit d'abord — r iin nombre entier quelconque non divisible par n; les nombres [i- congrus à — r suivant le module n sont de la forme

p.= iJ.' n — r.

où ^' est un

nombre entier

quclconqi

danles de s :

sont de ia forme

en snpposar

el l'on aura tous les nombres s considérés en supposant que ; prennent toutes les valeurs entières sans exception. Le pro de tous les facteurs primaires correspondants sera

•(--•iri

el la formule (V|), dont l'usage est légitime puisque 2 pas l'un des nombres s, montre que ce produit est égal

LA FOKCTiON du £T LES FONGTIOtiS QUI EN DÉKlVEfiT. 223

les fonctions d, Ç, j) étanL formées an moyen du couple de périodes 2Wi, 2t03.

Quant aux facteurs primaires pour lesquels \i. est divisible par n, en comprenant le fadeur u parmi eux, on voit de suite que leur produit est égal à (ïh; on a donc, en désignant par j-,, /'a, .. ., 'n-ii n — 1 nombres entiers tels qu'aucun d'eux ne soit divisible par II, non plus que la différence de deux, quelconques d'entre eux

135. En vertu de la périodicité, j)( ^ — ^j ne change pas quand on augmente r d'un muUîptc eiitiei' de n; par conséquent

ne cliange pas quand on substitue aux nombres r d'autres entiers satisfaisant aux mêmes condilions; si donc on pose

(XXI,) 2p(^2^) = ,p, (,.

De même, à cause de la formule (Vlj), l'expression

ne change pas quand on augmente r d'un multiple entier de n ; donc l'expression

ne change pas quand ou substitue aux nombres /■ d'autres enlier^

CALCUL DIFFÉRENTIEL

x mêmes conditions ; si l'on prend poiii

suivant que n est impair ou pair, on voit, en se rappelant que t, est une fonction impaire et que l'on a Î^m, = t„ , que la quantité précédente est toujours nulle; on peut doue écrire

On déduit do là, en prenant les dérivées logarithmiques,

<xx,,, t(,.|:^..,.).c,..2={»^-:r)-2^-»-.^

puis, en prenant la dérivée par rapport ii u et chaiigeanl les 133. Nous poserons, conformément aux notations (XXi.^),

(xxr.) «.-p('j|^.'".). i!. = j>(».|'"^.™.), E,^ii,+iî. = ".

(') Les formules (XXI) ont dû être données par M. Weierstrass dans ses Leçons de 13-50-1871. Voir l'important Mémoire de M. Krepert : Ueber Tlieilung und Transformation der eUiptischen Functionen (Mathematische Annalen, t. XXVt, ■9). La formula (XXI,) y est obtenue en prenant pour point de départ la égalité entre les deus membres est une conséquence facile du tliéorème de Liouïiile; les formules (XXI,), {XXI,) sont ensuite obtenues par des intégrations successives. On verra plus tafd que la formule (XXI.) est une conséquence immédiate du théorème de M. îlermite sur ta décomposition en éléments simples.

considération des pijles de la fonction plu — i^tbi,];