DIFFÉRENTIEL

[j., V devant prendre tous les systèmes de valeurs entières. Soicni l'e; i'\t i'->, ■ • •! '"rt-it n. entiers tels que la différence de deux quelconques d'entre eux ne soit pas divisible par n\ pour faire coïncider ces notations avec les précédentes, il suffira de supposer ?■„ divisible par n. Groupons ensemble, dans le produit infini, les facteurs primaires tels que les nombres [j. soient congrus à — r siiivant le module n; les valeurs de s auxquelles ils correspondent sont données par la formule

en sorte que, pour l'un de ces facteurs primaires, s— — peut s'écrire

Le nombre (y./' + i) — n'est jamais congru à zéro suivant le système de modules 2Wi, awj; quant aux nombres t*', v, ils doivent prendre lous les systèmes de valeurs entières; d'après la formule {V|), le produit de tous ces facteurs primaires sera donc

-^î^-O^ÏpP^".).

iquent s'i f w — > t^s) sera égal au produit

lultiplié par une puissance de a dont l'exposant sera

LA FONCTION tf« ET LES FONCTIONS QUI EN BÉlllVENT. 237

D'ailleurs l'expression (XX!,) dep f î( ~j (03 J montre que l'on u

'-SK"^ "■)-'■'■■■ "■-'■•"■ ■■->■■

l'cxposanL de e se réduit donc à

Quant à la quantité 2j^( ^^i ) ' on démontrera qu'elle est

égale à ^,~ ^ïh, soit directemeni, comme plus liaui, pour une

somme analogue, soil en faisant u = — dans l'expression de n « — , (1)3], qui devient alors égale à n, ou à r,, 4- ^^ P|. Finalement on a donc

(XSI,)

Mais on a aussi

à cause de la formule {XU3), et par conséquent on peut encore écrire

(XXI,) ,,(,.1^.„.) = . ..., Jl