Si de même on remplace dans la formule {XVII, ) a par

CALCUL DIFFÉRENTIEL

(1)1 par ~ f ce qui change s en s =^ 'i[;. — + 2V(ùj j, puis, simullanément, «par — u et s par — s, on reconnaît que le prodoit des facteurs primaires qui correspondent aux nombres [j. ^ — r(mod. n), c'est-à-dire aux indices s pour lesquels on a

est égal au |iriiduit de

par une puissance de e dont l'exposant est On a d'ailleurs

et l'on trouve, toujours par le même mode de raisonnement,

en effet, le premier membre ne dépend manifestement pas du système de nombres incongrus (mo<^«/o n) choisis pour /■(,, /■,, ...,

i FONCTION tfw ET LES FONC^10^S QUI

/■„,, el l'on vérifie de suite qae les deux sommes sonL nulles, comme se composant de termes égaux et de signes contraires quand on prend pour ces nombres o, i, 2, . . ., /i — 1 . On a donc finalement

{xxr,

j.(„lï,„.)^rr"-"-n-

Enfin on trouve de même

139. Les formules qui précèdent peuvent être transformées de diverses manières; mais, pour ces transformations, il convient de distinguer le cas où n est pair de celui où il est impair.

Il suffit d'ailleurs de considérer te cas où n est impair (') el celui où n = 2. En effet, si l'on sait exprimer les fonctions formées avec les périodes — -t 2W3 au moyen des fonctions formées avec les périodes awi, 2(1)3 dans ces deux cas, on le saiira toujours.

140. Soit d'abord « = a. Nous supposerons, pour ce qui regarde les fonctions rf, Ç, p, que l'on prenne ;-, =: i ; oci aura d'ailleurs 2P1 = «1 ; donc