XXII,) V I

(XXII,) p(^«|^,^,)=p„ + p(«

(') Il suffiraïl même manirestemenl de ne considérer que If mie/' impair, mais les formules qui suivent immédiatement n simplifiées si nous faisions cette restriction.

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Ces deux dernières formules donnent le mojen de calculer h,, H3, E|, E;, et l'on trouve successivement

(XXII,) H, = p», 4- p(u),-n.|) - e, - «,+ «■- e, = — Ki,

d'où, en se reportant à l'expression (XIV3) de p -' 1 (XXir^) E, = 61+41/^;^^/^^^.

Knfin, puisque e, + r.^-l- Ei, doit être nul, on aura

formule qu'il serait d'ailleurs aisé d'obtenir directement. La fonction^ = pi( vérifie l'éqwalion différenlielle

la fonction

doit donc vérifier l'équation différentielle

résultat que le lecteur pourra établir directement.

141. Dans les formules relatives aux fonctions rf), rA, rfj, nous supposerons re=^ o, ?-, = i . On aura alors

i.A fo;nciion -in liT lls i'osciions qi:i en dérivent. aSi

En tenant compte de i'iigalité (XV^) pour « =; !^ et a = i ,

des relations entre les carrés des fonctions du, dait et la fonction pu, enfin de la valeur trouvée pour p — {XVlj), on trouve sans peine les formules

•.Hî.»f

Cette expression peut se transformer de diverses manières; par exemple, en remarquant que l'égalité (XV3), dans laquelle on a permuté u et a, devient, pour 12=— elœr^a, p = j,y:=3,

233 CALCUL DIFFÉHEUTIEL.

Après des réductions faciles et en faisant usage successivement des égalités (XVI,), (XIV), (XT,), on trouve encore

Dans ces diverses formules les radicaux ont le sens précis qui i été adopté au n° Hl et elles ne supposent rien sur le signe de I. partie imaginaire du rapport des périodes.

142. On pourrait obtenir de la miîme façon (es formules rela tlvcs aux fonctions tf^wjw,, "-^^ a'a(«|(o,,^j; mais on les dé duit des précédentes, en remarquant que l'on a

en sorte qu'on obtiendra les formules cherchées en échangcaotles indices i et 3 et laissant Tindice 2 invariable; il faut toutefois, si l'on veut n'écrire jamais que les radicaux \/e) — Cg, \/e, — e-j, yje-i — Ca, tenir compte, après avoir fait cet échange, des formules

ET i.es FONCTIONS yt; rs iiÉnivEST (Xm,), (Xe); on obtient ainsi

(XXIV,) tf(«ita„^) = e^^« ^,„ = «^tf^„i/^7r37;