CXXV

l/ei — es H- /ei — e^

M^. Supposons maintenant n impair.

Les formules qui donnent les expressions de

^"lï^

334 CALCUL DlFFÉEENTiEL.

peuvent alors être comprises dans une formule unique. En effet, les n nombres ar + i — n, (;-^ To, r, , . . ., /■«)), qui figurent dans deux d'entre elles, sont tons des nombres pairs el la différence de deux quelconques d'entre eux n'est pas divisible par n\ il en résulte que les n nombres 2/' -|- i — n peuvent être regardés comme formant un système complet de nombres incongrus {modulo n), absolument comme les nombres r; inversement les éléments d'un tel système peuvent toujours être mis sous la forme précédente, en sorte que rien n'empêche d'écrire les trois formules (XXIî,j) sous la forme unique

On peut encore supposer ra = o, les nombres r,, r-î, . . ., /■«: étant alors incongrus entre eux et incongrus à zéro [modido n): alors les quatre formules relatives à

jirenncnt la forme très symétrique

^{,A'- . \ ~"è^''*""'' .;. "TT ^*-"^'""'

Dans ces formules figurent H — inombres pairs ?.;■ qui sont assujettis à la seule condition qu'aucun d'eus n'est divisible par n, non plus que la différence de deux quelconques d'entre eux. On pourrait, en détruisant à la vérité im peu la symétrie, introduire aussi bien h — i nombres impairs 2r — i assujettis exactement aux mêmes conditions; il suffira pour cela de remplacer, dans les formules précédentes, — w, par w, + w, et d'appliquer les

LA FOKCrlOH !jM ET LES FONCTIONS QUI EH DÉRlïËWT. 233

formules (XII3) relatives à l'addition d'une demi-période; on trouvera sans peine, en observant que les n — i nombres 2 /■ — i sont tous des nombres impairs et que la différence de deux quelconques d'entre eux n'est pas divisible par n, de même que les n~ i nombres a /■ — h,

(XXVIi)

On pourra prendre, par exemple, pour les n — 1 nombres !*■ — 1 la suite

— n-i-'i, — )t + ^, ..., —3, —1, (, 3, ..., if — 4, ii — 1. \^^. Si dans les formules (XXVI, ) on prend pour les nombres

Iles deviennent