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11 n'est pas mémenficessairedespécialiseraulant les valeurs de/'.

2dD CALCUL HIFFÉnENTlEL.

Choisissons, en effel, nombres /-, , r^, ...,/■ tels qn'aucini

d'eux ne soit divisible par n, non plus que la différence ou la somme de deux d'enire eux; cela esl toujours possible, puisque les

nombres r, 2, . . ., salisfonL à ces condilious; il esl, clair que,

parmi les n — 1 nombres

aucun ne sera divisible par «, non plus que la diEFérence de deux quelconques d'entre eux. En prenant ces n — i nombres pour r,, /"a, . . ,, r„,, on arrive évidemment aux mêmes formules que précédemment; seulement ;■, au lieu de prendre les valeurs i, a, . . ., — ^j doit prendre les valeurs r,, i\, . . .. r

Ceci posé, les formules précédentes montrent clairement que les fonctions tffii — ) W3K rfalu — i W3J s'expriment, sauf le facteur exponentiel e"'''', en fonction entière de du, rfa». On s, par exemple, en tenant compte des relations (VII|, XI,),

'(■'lï'-)-""-nh-Kï-)]

De même, en tenant compte de la relation (XV..) pour ; — — -w, et de la relation (Xli), on trouve

LA FOKCTIOff iW ET LES FONCTIONS QUI EN DÉBIVENT. 337

Dans ces diverses formules, ;■ doit prendre les valeurs i , a, . . ., ~ — ou, sil'on veut, les valeurs /■), /-j, . ... r^ définies plus liaul.

On pourrait transformer, d'une façon analogue, les formules où ligurent des multiples impairs de — - ; nous ne nous y arrêterons

l-io. Enfin, comme rien dans co qui précède ne dislingne les périodes w, , w,, on peut, en écliangeant les indices i et 3 et laissant invariable l'indice 2, écrire

Dans ces formules, ;■ doit prendre n— 1 valeurs ;-, , z-^, ..., l'ii-t^ dont aucune ne soit divisible par n non plus que la dlfi'érence de deux quelconques d'entre elles.

Il est facile d'établir les relations