LA FONCTION ^U ET LES L'ONGILONS QUI I

gncrons celle opéralion par le symljole

Nous emploierons sonvenl une seule lelLrc poai' désigiier \:i même opéralion; si nous écrivons, par exemple,

nous entendrons simpleracnL que l'opération S esl la même que l'opération

Si nous effectuons celte opération sur x, y et si nous effectuons ensuite sur les quantités a^ + ^y, yx + Sj-, l'opération

^{'ly

cela reviendra à remplacer ax 4- {iy, -^x -\- hy par

et l'on aura finalement remplacé x, y par les seconds membres des équations précédentes, c'est-à-dire qu'on aura effectué sur X. v l'opération

Vfa + a'T f^ + 3'5 )

La double opération qui consiste à effectuer sur ;c, y l'opéralion S, puis sur les quantités qui remplacent alors a;, /l'opération S', s'écrit

les opérations s'effectuant dans le sens indiqué par leurs symboles en allant de la droite vers la gauche. Le déterminant de la substitution S'S est égal au produit des déterminants des subslilutions

2^0 CALCUL DIFFÉHENTiEL.

S et S'. Il est essentiel de remarquer que les deux symbole et SS' désignent en général des opérations dlfTérentes, Si S" est un troisième sj'mholc de substitution

n désignera par le symbole

l'opération qui consiste à effectuer sur x, y l'opération S, puis sur les quantités ainsi obtenues l'opération S', puis sur les résultats l'opération S", ce qui donne finalement

Cela revient encore à effeetuer sur x, y une certaine substitution linéaire dont il est bien aisé de calculer les coefficients.

Les substitutions S'S, S'S'S sont dites composées avec les substitutions S, S' ou S, S', S". !1 est clair que la notion de composition peut s'étendre de procbe en proclie à un nombre quelconque de substitutions.

Si S' et S représentent la même opération, c'est-à-dire si, en conservant les notations antérieures, on suppose

.■=., fl'=^, Y-v. S'- 3

(ce que l'on écrit plus rapidement S':= S), on convient d'écrire S^ à la place de SS ; de même S' a le même sens que SSS, On comprend dès lors ce que signifie un symbole tel que

où pf p,, p.2, pj sont des nombres eaticrs positifs; on doit cfl'ecluer sur ^, y l'opération S une première fois, puis encore cette même opération sur les résultats, etc., en tout, p fois; puis, sur les résultats, l'opération S' une première fois, sur les résultats encore la même opération S' une seconde fois, etc., en tout p' fois, etc.

Il est à remarquer qu'on peut écrire

LA FOKCriON du ET LES FONCTIONS QUI KN DÉRIVENT. 24 1

les parenthèses indiquant que les opérations multiples dont elles enferment les symboles doivent être remplacées par une seule opération : la première égalité n'exprime pas autre chose que la déûnition même du symbole S"S'S ; la deuxième veut dire que l'opération S"S'S revient à effectuer d'abord l'opération S, puis, sur les résultats, l'opération S" S'. Cela esta peu près évident, et se vérifie d'ailleurs sans difficulté.

Il résulte aisément de là que, dans un produit symbolique de substitutions, on peut grouper ensemble plusieurs facteurs consécutifs (').

lâl. En supposant toujours

. 8 y on désigne par S~' un symbole de substitution

tel que l'on ail

On voit alors, par ce qui précède, que les nombres a', ^', y', 5' sont déterminés par les quatre équations

En résolvanl les deux premières par rapport à a', ^' et les deux

(') En conservant ies mêmes notations, l'opÈratioii pi'fcédenle S''S'S, par exemple, peut étie définie d'une façon un peu difieieate : on suppose que les opérations partielles que l'on ya décrire s'effectuent non plus de droite k gauche, mais bien de gauche à droite.

Partons des formes linéaires a'x -+- ^° y, "f'ic -1- B"j', dont les coefficients sont les éléments da premier sjmbole (en partant de la ganclie) S"; remplaçons-y les variables a;, y par les eipressions linéaires a'x + f-'y, y' 3;+ S'y, dont les coefficients sont les éléments du second symbole S' ; puis, dans les Cormes transformées, mettons encore, à la place de m, y, les expressions linéaires a a; -H ^y, -(s; + &y dont les coefficients sont les éléments dn troisième symbole S; les coefficients des formes finales seront les éléments du symbole composé S''S'S.

T. et M. - I. 16

a4a CALCUL DirFÉBENTlEL.

autres par rapport à V, S' et en désignant par (B le délerminant

te ==. ccS - ^-f,

il vient

Il importe de remarquer cjue la substitulion :st S; en d'uiUres termes, on a

s-is = ss-i

On désigne par S" la substitution identique i jj qui n'al-

tère pas les variables.

Le symbole S" a été défini pour n entier positif ou nul; on ■convient de donner au symbole S"" le même sens qu'à (S~')". Il est aisé de voir que, quels que soient les entiers positifs, nuls ou

Celle égalité est évidente quand m, n sont positifs ou nuls; bornons-nous done à établir l'égalité

d'oii il est aisé de déduire ensuite les autres cas. En supposant par exemple n = 3, on aura

S3S-3-- SSSS-'S-'S-i = SS(SS-')S-'S-';

comme SS""' = S" est la substitution identique, on peut évidemment la supprimer et l'on a ensuite

SSS-iS-' = S(SS-t)S-' = SS-' = S*':

le raisonnement est général.

Observons encore que l'égalité