SÉUIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS

unL la même valeur, on peut faire correspondre à chaque nombre positif e un entier positif /j tel que l'on ait

iQ'i.-p;i<^-

sons les seules conditions ll >>jO, v >/). Or si l'on suppose ^ assez, grand pour que tous les facteurs qui figurent dans Py figurent aussi dans Q|i, on aura, d'après une remarque antérieure,

iqi.-Pv|<q;.-p;

et, par suite,

Si donc l'on fait croître \i- indéfiniment, on aura, en désignant par Q la limite de Q^ pour [Jl infini,

IQ-Pvl^^,

et enfin, en faisant croître v indéfiniment,

("est ce qu'il fallait démontrer.

est convergente, le produit infini

ne peut être nul que si l'un de ses facteui's est nul. Supposons d'abord que l'on ait, quel que soit «,

nous allons montrer que P ne peut être nul. On a, en cffel, en conservant toujours les mêmes notations,

d'ailleurs le produit infini

est absolument convergent : en effet, les séries à termes positifs

sont convcrgenles en même temps, puisque le rapport des termes de rang n dans ces deux séries est 1 1 + a„ ], quantité qui a pour limite l'unité quand n augmente indéfiniment. Il résulte de là que le produit des n premiers facteurs de ce produit infini tend vers une limite ; par conséquent, P„ tend vers une limite qui n'est pas nulle; c'est ce qu'il fallait établir.

Ne faisons maintenant aucune restriction sur les facteurs i + a,,, en supposant toujours convergente la série

Si l'on suppose m > n, on a évidemmenl d'où, en faisant grandir m indéfiniment,

p = (, + «,)(,+«,)...(,+ ^„) "Il (, + «„^,) ;

or, puisque l'on a

on peut ])rendre n assez grand pour que l'on ait, quel que soit v,

l««+vl<.;

dès lors le produit infini

nc-H— )

SÉRIES ET PRODUITS INFI.MS A TEltMES

aura une valeur différenle de aéro; P ne pourra donc être nul que si le produit

est nul, cl, par conséquent, si l'un des facteurs