H«i, i + aj, ..., 14-a,i

est nul. C'est ce qu'il fallait démontrer.

9. Nous ajouterons encore la remarque suivante, relative à la possibilité de grouper les facteurs d'un produit infini absolument convergent.

Tout d'abord, si 0|, Oî, . . . , a„, . . . sont des nombres positifs . ou nuls, on aperçoit immédiatement la vérité de la proposition suivante :

Soient K, , 7i2) . ■ . , iip. ... des entiers positifs croissants; po-

(■ + ■>.,-,*,)(■ + "..,„*.) ■■•(1^ «.,) = ■ + »„. Si le produiL infini

est convergent, il en sera de même du produit infini

et les deux produits infinis auront la même valeur. C'est une couséquence immédiate des définitions.

Supposons ensuite que le produit infini

ne-..

soit absolument convergent, les nombres «i, a-i, ■ ■ ■ , a,,, • ■ •

élanl d'ailleurs rcels ou imaginaires, el désignons par i + B,, 1 +■ Bj, . . . , I -H Bp, ■ . . ce que deviennent les premiers membres des égalités qui définissent i + i, , 1 + b^, . ■ ■-, i + bp, ... quand on y remplace «1 , «2, . . . , «„^, . . . par leurs valeurs absolues. L'égalité

è[= ai-i-a^-i- . . . -h (ï,i,-l- aidj-h ...

Cl les égalités analogiies montrent que l'on a

Le produit infini

étant convergent par hypothèse, il en sera de même, en vertu de ce qui a été établi plus haut, du produit infini

la convergence de la série

qui résulte de la convergence du produit infini précédent, entraîne la convergence de la série

on voit donc d'abord que le produit infini

est absolument convergent. Maïs il est manifeste que le produit des j5 premiers facteurs de ce produit infini, qui est formé des iip premiers facteurs du produit infini

SÉRIES EX PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. I .i

ne peut avoir d'autre limite qxie la valeur de ce dernier produit iufmi ; on peut donc, dans ce produit infini, grouper les facteurs comme il a été expliqué. D'ailleurs, puisque, dans un produit infini absolument convergent, on peut changer l'ordre des facteurs, on voit que le groupement des facteurs peut être fait d'une façon arbitraire, pourvu que chaque groupe ne contienne qu'un nombre limilé de facteurs.

10. Ainsi les propriétés essentielles des produits d'un nombre limité de facteurs se conservent dans les produits infinis absolument convergents. 11 n'en est pas de même des produits infinis qui ne sont pas absolument convergents. C'est pourquoi nous ne considérerons ici que des produits infinis absolument convergents et c'est là la restriction que nous avons annoncée.

Nous adopterons pour les produits infinis absolument convergents des notations analogues à celles que nous avons adoptées pour les séries. Ainsi, si les deux séries

sont absolument convergentes, nous représenterons par le symbole le produit des valeurs des deux produits infinis

gc--)- fie— '^

}"i(i-t-«„)=(i+«o)n[(i+«„){i^«-»ii

et l'on pourrait adopter une infinité d'autres modes de groupement des facteurs.

1^ INTBODUCTIOK.