V. - Cas où A n'est pas nul

603. Supposons maintenant que Z —- A;' -!->.. soit du quatrième degré. Plaçons-nous d'abord dans le cas où les quatre racines de Z sont réelles; les quatre substitutions possibles et les racines de Y sont alors réelles.

Nous 'supposerons s, >Ji> ûq?' ^r- «1 > «i> e^. La relation générale

qu'il est aisé d'obtenir, permet de montrer que l'on a, quel que soit p, et en distinguant les deux suppositions A.^o,

On remarquera que l'expression qui re[jrésente A"^ pour A ;o, représente k'"^ pour A5 o.

La correspondance détaillée des valeurs de s et de jv est donnée dans le Tableau suivant, dont la description est trop analogue à celle du Tableau précédent (n" 600), pour que nous nous y arrêtions, non plus qu'à ce qui concerne le sens dans lequely varie avec z, la correspondance des coupures, celle des moitiés inférieure ou supérieure des deux plans, le choix qu'il convient de faire parmi les valeurs de p, suivant les cas, en appliquant les formules (CXXXlLja^s), lorsqu'on ne considère que des valeurs réelles de s, ou enfin la déduction des formules (CXXXVII)-

s INTÈiiBALES LE LONG U L

p=l. jl p = 1.

Z= Zi

es

es

fis

es

SgnZ^

604. Supposons que les quatre racines de Z soient imaginaires. Nous nous bornerons an cas où A est positif; nous désignerons par 3) et Zi les deux racines pour lesquelles le coefficient de i est positif, s^ étant celle pour laquelle la partie réelle est la plus petite; 3» et^a désigneront les racines conjuguées des, et s,. Toutes les substitutions sont imaginaires; mais il est aisé de voir que les racines e,, e^, e^ sont réelles; nous supposerons toujours Cl >-e2>-es. Nous choisirons la substitution qui correspond à la valeur 4 àe p. Alors aux points z,, z^, Z3, 3,, od du plan des s correspondent les points e,,e2,co, s^::rî2i'[ du plan des y, et l'on a

Les quatre points s,, 3^, 23,34 sont sur un cercle (c) dont nous désignerons le centre, situé sur l'axe des quantités réelles, par c, elles points d'intersection avec le même axe par P, Q; P est supposé adroite. Le cercle (c) correspond à l'axe des quantités réelles du plan desjr- A l'axe des quantités réelles du plan des z correspond, dans le plan des j', nn cercle par rapport auquel les points 00 et «3 doivent être sj'métriques, ainsi que les points e, et e^ ; c'est donc le cercle (es) du n'Sïfâ; le point S est nécessairement sur la circonférence de ce cercle ; soient p, q les points de rencontre de cette circonférence avec l'axe des quantités réelles; nous désignerons par/> le point si tué à droite (entrée, etfi:;). Quand le poini^

aS CALCUL INTÉGRAI..

décril(y(é'. A) l'axe des qnaot! tés réelles de — co à -i-coil passe successivemenl parles pointa — co,q,e3, e^, Pi^i, +co; le point correspondant s devra passer snccessiveinent par les points z^, Q, s», Sa, P, a,, Z4 du cercle (c) : il se mouvra dans le sens direct. Les points Q, P du plan des = correspondent respectivement aux points g, p du plan des y. Les régions dn plan des z intérieure et extérieure au cercle (c) correspondent respectivement aux moitiés supérieure et inférieure du plan des y. Le point S du plan des^ est donc sur la moitié inférieure du cercle (e^). Aux portions de coupures du plan des jk qui vont de — coà 63, de e» à e^, de «2 à e, correspondent, dans le plan des z, les coupures circulaires qui vont de s^ à Z3, de z^ à z^, de z^ à z,; il n'j a pas de coupure entre Zf et z, . Le bord intérieur de la coupure circulaire du plan des s correspond au bord supérieur de la coupure rectîligne du plan des y. Pour définir \/Z au moyen de i/Y, il est commode d'avoir l'argument trigonomé trique du facteur __^ qui figure dans la formule (GXXXIIj); des considérations faciles de Géométrie élémentaire fournissent la règle suivante ; soit A le second point d'intersection avec le cercle (c) de la droite qui jointe;, à z; soit B le second point d'intersection de ce même cercle et de la parallèle menée par A à l'axe des quantités réelles : l'argument cherché est mesuré, en prenant pour unité le rajon du cercle (c), par l'arc qui va du point le plus haut de ce cercle au point B. On en conclut que la fonction \/Z, holomorphe dans le plan des z coupé, est positive pour 5 réel compris entre P et Q, négative pour les autres valeurs réelles de s.

La figure (0) du Tableau (CXXXVIII) indique la correspondance entre les variables z et u. Le périmètre du rectangle (R) du n" 59i fait son image sur les coupures, les segments rectilignes qui vont de ^0)3 à w, -[-| Wj et de — ^wb à œ, — i to^ ont leurs images sur la moitié intérieure et la moitié supérieure de la circonférence du cercle («3); au point s =: jj'^ Z^ du plan des ^ correspond, dans le plan des s, le point 00, et, dans le plan des u, un point «0 situé sur le segment qui va de Wj à <i), + ^ W3; le segment qui va de ^ (dj à Ug a pour image, dans le plan des z, la portion de l'ase des quantités réelles qui va de Q à — co; le segment qui va de «u à Wi + :; io.t a pour image la portion de l'axe des quantités

tVALUATlON IlES IKTÉGRALES LE LONG D UW CHKMIS QUELCOSCUE. 29

réelles qui va de -i- co à P ; enfin le segment qwi va de — ^ Wg à à W) ^ i (1)3 a pour image la porLion de l'axe des quantilés réelles qui va de Q à p. Eniin, on a indiqué sur la figure par les signes (''ï)' (''Di ('"1)1 {''D^^^ régions du plan des s où se font les images des petits rectangles (r,), {r^), (rj), (rs). Ces explications suffiront au lecteur, pour établir les formules (CXXXVIII) et pour reconnaître en particulier comment on obtient les valeurs (réelles) des intégrales de la forme / —-. quand s est réel etvarie entre des limites convenables. Au surplus, une autre méthode permettra bientôt d'obtenir ces intégrales, sans l'introduction de quantités imaginaires. Dans le cas où Z est bicarré et où, regardé comme un trinôme du second degré en s*, il a ses racines imaginaires, les quatre points z,, Sa, Sj, s, du plan des s sont les sommets d'un rectangle; le pointe coïncide avec le point o; dans le pian des j', le point s est à l'intersection dii cercle (e-j) et de la parallèle menée par le point e^ à l'axe des imaginaires vers le bas.

6O0. Les résultats précédents doivent être modifiés quand le cercle (c) devient une droite, c'est-à-dire quand les quatre racines Si, ss, Sj, Zf ont même partie réelle. Cette droite (c) est perpendiculaire [fig- (E)] à l'axe des quantités réelles qu'elle rencontre en un point p. On prend alors pour s^ celle des quatre racines qui, sur la droite (c), est figurée parle point le plus haut; en descendant sur celte droite on rencontre les points z,,p,Z2,s^ et l'on emploie la même substitution ; la correspondance entre les racines Z), 33,33 de Z et e,, e^, e^ de Y subsiste. Les coupures du plan des z vont, sur la droite (c), du point Sj au point à l'infini i vers le haut, puis de s, au point à l'infini J vers le bas. Le point ^ 0)3 a son image au point co du plan des 3, point avec lequel les points I, j et les points zh 00 de l'axe des quantités réelles doivent être regardés comme confondus. Les petits rectangles (/-,), (tï), (ra), (/'s) ont leurs images dans les quatre angles formés par l'axe des quantités réelles et la droite (c). Dès lors les applications ne comportent pas de difficulté, et l'on obtient en particulier les formules (CXXXVÏII3).

606. Lorsque le polynôme Z a deux racines imaginaires conjuguées et deux réelles, nous désignerons par Si et Sj les deux ra-

3o CiLCUL INTÉGRir,.

cines réelles, en supposant Sn >• s^ ; par z, la racine imaginaire dans laquelle le coefficient de i ^esl positif, par 33 sa conjuguée. Nous supposerons p égal à 2 on à 4 pour avoir affaire à une substitution réelle. Le polynôme Y aura une racine réelle e^, et deux racines imaginaires e,, e^; on suppose que - ' . -■— est positif. On trouve aisément les résultats suivants :

A>o, e, -,ea= ^h, e,-e^= ^ M, Cj ■ - ê, - y N, /.■==--: ^

Zj est du signe de A, Z^ de signe contraire; on en conclut d'une part la détermination de \J'L correspondant à celle de \/Y, puis, d'autre part, ce fait que pour des valeurs correspondantes réelles de z et de j', y varie dans le même sens que s, pourÂ>-o,p=-4 et A <:^ o, p = a ; dans le sens contraire pour A > o, p = 2 et A <; o, p ^: 4- Suivant que y et a, supposés réels, varient, ou non, dans le même sens, les parties supérieures (ou inférieures) des deux plans des y et des z se correspondent, ou non. Dans le premier cas^i, S3 correspondent àe,, e^; dans le second, si, z^ correspondent à es, e,.

Au cercle (ej) du plan des y, cercle qui a pour centre e^ et qui passe par e, , gj, correspond dans le plan des s un cercle (c) passant par Z),Sj et par rapport auquel sont symétriques les points Sj, z„ correspondants des points e^, co (ou w, e^ ) du plan des y. Il y a lieu de distinguer trois cas, suivant que le rapport S ^^ — ^ "°° ! est plus grand que un, plus petit que un, égal à un. Dans le premier cas c'est le point Sj, et dans le second le point z^ qui est inlérieur à (c). Ces points correspondent, dans un certain ordre qui dépend de la valeur de p, aux points 00 et e^ du plan des j', et l'examen de cette correspondance permet de reconnaître, dans les différents cas possibles, si les régions intérieures (ou extérieures) des deux cercles (c) et (e^) se correspondent ou non. Les régions de même nom se correspondent pour p ^ a, ^> 1 et p ^ 4; S < I ; elles ne se correspondent pas pour p :^ 2, 5 <;| i , ni pour p ^ 4) ^ ]> i . En combinant ces renseignements avec ccq^l que l'on a sur le sens dans lequel varie y quand a augmente,