ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D'IN CHEMIN QUELCONQUE. 3 F

par valeurs réelles, de — co à + co, on reconnaît aisément comment sont disposés, dans le plan des s, les points d'intersection M, M' du cercle (c) avec l'axe des quantités réelles qui correspondent respectivement anx points m et m' du cercle (fia) situés sur i'axe des quantités réelles, et comment, dans le plan des^j', est situé le point S qui correspond au point co du plan des ;. On a d'ailleurs

où il faut prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant que l'on a Ago. Dans le troisième cas où S est égala i, le cercle (c) se réduit à ta droite qui passe par les points Zf , z^. Le milieu des points s^, s, est aiors le point M' ou le point M; et le point S coïncide avec l'un des points m, m'. Voici le résumé de ces divers renseignements :

Suivant que l'on a p t^ a ou p r- 4, on a sgn — = dz sgn el

les valeurs e^, 00 ou 00, e^ de y correspondent aux valeurs Si, z^

de E. Suivant que l'on a sgn ^^ ^^z^zj ,y çlz varient, ou non, dans

le même sens. Le Tableau suivant indique, selon les cas, comment sont rangées les quantités 3^, 34, M, M' ou m, m', <;.., S.

p = 2, S < I j A > o, «i'< es < 8 < m,

p = 4, 3> 1 I A<c., m'< s <eî<m;

p = 2, S > I j A > o, m'< ei<m< s,

En combinant les résultais indiqués par ce Tableau à ceii\ que

i'oû trouve sur la figure [B) du Tableau (CXXXl), on obiient immédiatement la correspondance entre les variables z et u. Le périmètre du rectangle (R) du n" 598 fait son image sur les coupures du plan des z.

Il n'y a plus maintenant ancane difficulté à établir les formules (CXXXIX).