VI. — Réduction à la forme de Legendre

607. On peut, ainsi que Legendre l'a remarque, r ixpression diffère

degré en v^, au moyen d'une substitution lin

dans laquelle p et q ont des valeurs convenablement choisies.

Quels que soient/» et g on a, en effet,

; (g —p)dv

en égalant à zéro le coefficient de c dans le produit des deux premiers facteurs sous le radical, ainsi que dans le produit des deux derniers facteurs, ce qui détermine p et q par les conditions

,)(.Sl-^,)(^,-3,)(g,

le second membre de l'égalité précédente se réduit à une expression de la forme

où a désigne une constante qu'il est aisé d'évaluer au moyen de

ËVAT.UATIO.N UES INTËGRALtS LE LONQ U'uN CHEMIN QUELCONQUE. 3^

A, 5),Sa,^}, 5,1. Lorsque les coefficients du polynôme donné R(s) sont réels, cette constante a, ainsi que les valeurs de p et de (/ sont manifestement réelles; dans ce cas a et 6 désigneront des nombres réels et positifs : on supposera «< 6.

Le seul cas où p et 9 ne seraient pas déterminés par les formules précédentes serait celui où l'on aurait 5i + 5a = 23+ Zi ; mais alors on n'a certainement pas 3) -i-s^ = 32+5^; il suffira donc de transposer, dans l'égalité précédente qui alieu quels que soienljoet^, le second et le troisième facteur sous le radical, après quoi la ré-