Si,d«ii l'on fait
( = bc.
on retombe sur l'un des types envisagés au n" 6OI, et il suffirait de se reporter à ce numéro pour y trouver les substitutions linéaires en x'^, qui ramènent l'expression obtenue à une expression de la forme
dy
- /Kr - fil ) (.r - «2 ) ( r - «3 ) '
où Éi -I- e-i + fil ~~ o. Mais, au lieu de ces substitutions, il est souvent commode, quand a et 6 sont réels, et, par suite, c compris entre o et i , de se servir des substitutions du premier degi-é en x'^ et(v^ données par Legeodre dans les divers cas qui peuvent se présenter lorsqu'on combine de toutes les manières possibles les signes -|-, — qui figurent sous le radical, substitutions qui permettent de ramener l'expression — à une expression de la forme
4^, où W^ (1 - w■'){^ - k-'iV'), /,■ étant un nombre rccl compris entre o et i .
Nous supposons dans les formules qui suivent ^ et w réels, c positif ainsi que k' = \/T— - /r^ ; w ne doit prendre que les valeurs comprises entre — 1 et + 1 ; pour chacune des transformations, X est par conséquent supposé compris entre les limites qui résultent de cette hypothèse, en vertu de la formule même de transformation; dans ces conditions les quantités sous le radical
sonl posilives. Les radicans eux-mêmes sont supposés positifs: enfin e, e' désignent des quantités é^^ales à ± i , ayant respectivemerit les signes de x et de w.
k = JV
dx
dx
dx
dx
dx
dw
dw i/w
A ces transformations, il convient d'adjoindre les deus sni vantes qai sont linéaires : les radicaux sont toujours suppose positifs.
Il est aisé de déduire à nouveau, de ces relations différentielles, les valeurs des intégrales qui figurent dans le Tableau (CXXXV).
609. Lorsque les racines de z sont réelles, si l'on l'ail, dans l'expression — ^, la substîtullon
!^)C0SÎf ^(^X-
ÉVilLUATIOX DES INTÉGRALES LE LOTVG d'ln CEIEIHS QUELCONQLE. 35
on trouve
7Z " 7h(^V- ^v)(=ir^^p) cos=» + (sp - z,) (^^- SX) sin=-n'
Supposons d'abord A positif". Si s est compris entre j, et +co, ou entre — co et a,,, on supposera X=ri, |ji.=:2,v = 3, p = 4j quand z varie de s, à + co ou de ^oo à 3,,, s varie de o à 'fo ou de 3a à -. eu désignant par ço l'arc compris entre o et -- dont la
tangente est égale à t,' ^j- Si s est compris entre z-x et s»;
on prendra )^ = 3, |j, = 4i '' = ' i P = ^ ! quand s varie de Sa à z^, ■f varie de o à-- En donnant aux radica\ix leur signification aritli-
dz ■>. d-i; . N
Supposons ensuite A négatif. Si s est compris entre z^ et z^, on prendra )> -- 4) J* — - ' ^ v=^2, p;=3; quand s varie des.ià^^, a varie de o à -■ Si 3 est compris entre s^ et s, , on prendra \=iï, jjL = 3, V ^= 4) p ^= ' i quand s varie de «^ à j,, » varie de o à -■ En donnant encore aux radicaux leur signification arithmétique.
Il est aisé de déduire à nouveau de ces relations différentielles les valeurs des intégrales qui figurent dans ie Tableau (CXXXV).
- Substitution quadratique.
