Nous allons montrer maintenant comment la réduction à

la forme normale — —- de toutes les différentielles de la forme -7= ,

OÙ Z est un polynôme quelconque en s, du troisième ou du quatrième degré, peut s'effectuer au moyen d'une substitution du

36 CALCUL ISTÉCRiL.

second degi'é. Noas nous bornerons an cas où le polynôme Z a ses coefficienls réels et admet au moins deux racines imaginaires; l'intérêt de cette dernière supposition consiste en ce que l'on peut alors choisir une substitution réelle telle que les racines du polynôme transformé soient aussi réelles, ce que l'on ne peut faire par une substitution linéaire. Les modifications qu'il y aurait à apporter à quelques-uns des résultats suivants, si l'on ne se trouvait pas dans le cas auquel nous nous limitons, n'écliapperont pas au lecteur.

Rappelons d'abord quelques propositions élémentaires relatives à la fraction x =^, oàV — o-z^ -\- pz + y, \ = a.'z^ -\-^'z-\--f sont des trinômes du second degré en s, à coeflicients réels; nous a'excUions pas le cas où et' est nul. La dérivée de cette fraction s'annule pour les racines Ç, , î^j de l'équation du second degré en ;,

(a) Y(^)^U'V-[]V' = («p'-a'p)^=H--.(n'-^'-f)^-l-flT'-fl'T = «- Les valeurs x,, x^ de x qui correspondent à fj,, (^3 s'obtiennent en remplaçant s par Ç,, 'C^ dans ^^ > ou mieux dans la fraction du premier degré ^ ; x^, x^ sont réels en même temps que Çi, Ç3. Quand x est égal à Xx ou à x%, le polynôme en s, U — ~W x, ayant une racine commune avec sa dérivée, est un carré parfait et est,

par suite, égal à (a — a'a;,) (3 — î;,)^ ou à (a — a'iC3)(s —'C,^)-.

On en conclut que x, , x-,, sont les racines de l'équation en x

qui exprime que l'équation en 5, U — V^ = o, a ses racines égales. Des remarques antérieures et des relations

il résulte que le polynôme en 3, V-i ( y } ' est égal au carré de ffi (s) multiplié par un facteur constant que l'on trouve aisément être égal à 1 en comparant les coefficienls de z"; on a donc l'identilé

[O V=i(^)=9H^) = (r--i-^'ï')(IJ"-V^,)(U-V^.).

yGoosle

ÉVALUATION DKS INTÉGRALES LE LONG d'uK GHEIIIN QUELCONQUE. 87

Quand les racines de V sont imaginaires, la réalité des quantités î^i, 1^3, ^1, x^ apparaît aisément sur les équations (a), (b). En effet, d'une part, en remplaçant, dans <i(s) ^ U'V — UV, 2 par la racine —-:~ de V, oq trouve le même résultat qu'en faisant la même substitution dans U'V; or V est alors du même signe que a'; U' se réduit à —'—, — ^; U'V est donc de même signe que ol'P — œp', c'est-à-dire de signe contraire au coefficient de ^^ dans ff>{s) ; i^, et Ç3 sont donc réels et comprennent entre eux le nombre — — ,- D'autre part, si dans '^{x) on remplace x soit par— soitpai--!; le résullal est positif, par conséquent de signe contraire an coefficient de x- dans i(^); x,, x^ sont donc réels et comprennent entre eux ~,i -ï^- Enfin, comme .x, et x^ se déduisent de i^i, Ç;, en remplaçant ; par %,, %s dans ■ ,^ ' ^, , on a

puisque — , est compris entre ^1 et 'C,, !e dénominateur est négatif; il en résulte que Ç,, t^j sont rangés, ou non, dans le même ordre de grandeur que x,, X3, suivant que afi' — a' fl est négatif ou positif.

Dans le cas que nous aurons encore à examiner, où U a ses racines imaginaires et où a' est nul, on voit de même que i^,, (^3 sont réels et comprennent la racine — ^ideV; que X|, ^3 sont de signes contraires, parce que leur produit est négatif; enfin que ^i, î^a sont rangés, ou non, dans le même ordre de grandeur que x,, œ,, suivant qTie ap' est positif ou négatif.

6il. Ceci posé, désignons parZ un poljnome du troisième ou du quatrième degré, à coefficients réels, admettant deux racines imaginaires conjuguées S,, s^; nous désignerons par s-j, Si les deux autres racines (réelles ou imaginaires conjuguées) si Z est du quatrième degré, par a, la racine réelle unique si Z est du troisième degré, en sorte que, en désignant par A, a des constantes,

Z sera, aiiivaiH, les cas, de l'une ou de l'autre des deux for

en posant

U = (s - ^,) (= - -^0, V - iz - s,) (z - z,)., si X est du quatrième degré;

si z est du troisième; les coefficients a, . , . , y de U, V" sont réels

et s 'es prime m immédiatement au moyen des racines de Z. On

aura alors, en convenant de remplacer A par a quand Z est du

troisième dcgriî,

Z r.. AUV = AV^a^, ^ = f^, dz V^

d'où, à cause de l'identité {(,'),

„ „ dz V ds: dœ

les radicaux étant liés par la relation

qui montre, en supposant tout réel, que les radicaux sont ou non de même signe, suivant que Q{a) est positif ou négatif. La même égalité montre que Z et Aa:i(^) sont de même signe pour des valeurs correspondantes de x et de .;.

612. Plaçons-noiis d'abord dans le cas, où Z étant du troisième degré, U a ses racines imaginaires; i^, et Çs sont alors réels; en supposant Ç, >■ Ç3, on aura, par les remarques précédentes,

yGoosle

s INlÉURALItS LE LONfi d'ik ClI01^ QUELCONQUE. 3^

it réel, s doit être compris entre — co et z^ on entre Sj et -+- eo, suivant qne « est négatif ou positif. Le Tableau suivant indique la correspondance entre les valeurs de z el celles de x; dans la première ligne les valeurs de z sont rangées par ordre de grandeur croissante; la troisième ligne contient le signe de fû(s); X augmente ou diminue quand z croît, suivant que ce signe est + ou — ; x^ est un maximum, x, un minimum :

Signe de f(z) I -■-

Dans l'égalité r-7^ ■--= ±7-, — , ) on preudradooc

le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que z n'est pas ou est compris entre Ç3 et Ç, .

En appliquant par exemple le résultat h la diflerentielle

- . où l'on suppose e- réel, e,, es imaginaires con-

juguées, en sotte que, comme on l'a l'ail observer au n" 39-4, ^62 — 61, ^63 — e-j sont aussi imaginaires conjuguées, on esl

amené à faire la substitution x = — — ■ et les quantités

désignées plus hanl par Ç, , Çj, x, , Xg sont ici

U -^ ^2 -^- V"! —ë; v/ej — e,, Ï3 == es — v/(î2 — e, i/ei — e, ,

Au lieu de cette siibstilution, afin d'obtenir un polynôme dans lequel la somme des racines soit nulle, faisant la substitution

nous obtiendrons la relation

ei) (2 - es) (^ - ea) 1 1 s/ïîy - e,; ( j - E^) {j -

yGoosle

4o i:alc.l't. iNïÉiiiiAi,

en posant

Es = —

H imporLe de remarquer que les quanlUés E), E^, lîj sont réelles. En supposant s >ea, on aura x''J>x,, donc^ > E,, et l'on devra prendre, dans le second membre de l'équation (rf), le sig'ne + ou le signe —, suivant que a est compris entre %, él + f», ou entre «2 el 'Ç,; si z doit varier à la fois dans les deux intervalles, on fractionnera l'intégrale.

Le résultat que nous obtenons ainsi coïncide avec la relation

qui résulte aisément des formules (X,X[I) ou (XXiV) et des formules de transformation linéaire.

613. Supposons maintenant que Z soit du qiialrième degré, on aura alors

= (Zî-J- Si— z,-- z,)z' — a(îjSt — 3,^3) z

-:- (z, -^- zs) z^Zi -- (3, ■+- Zi)s, z-j ^.(z^^z,--z,~z,)(z-!:,){z-i,).,

4^(37) .- [z^.^z,-(^i-^.-Z,)^]'--H X-l){Z,Z,ie-ZiZ,)

2i;i — zi — as itU~z, — Zi

puis, en posant A.| = A(;i — -s)":