CXLI
I v/A.ta7(g — a^i)(a^ — 3^3)
ftVALllATION DES INTtr.BALKS LE r,0\IJ n'i.N CHBMIK (JUELRONQUl!. 4l
llfaulloutefois remarquer que celles de ces formules oi figurent î^i, Ça doivent être modifiées si cj){;) se réduit au premier degré, c'est-à-dire si Sj H- s^ — z, — s^ est nul ; nous écartons ce cas provisoirement. Les quantités Ç,, ï^a, x,, Xg sont réelles; ~ est
compris entre i^, et !^j, i et -^—^ sont compris entre x, et a;,. Si s^ et Za sont réels, a;, et ^j sont de signes contraires; d'ailleurs fp(Si) et f{Zi) sont de signes contraires; il j a donc une des racines i^, et 1^3 comprise entre Zj et 34.81 Ss et s^ sont imaginaires, Xf et 3:3, qui sont de même signe, sont positifs, puisque l'un de ces nombres est plus grand que i ; nous prendrons pour x, le plus grand des deux; A, est de signe contraire à A. Nous avons tout ce qu'il faut pour dresser le Tableau suivant, comportant deux cas suivant le signe de Z2-\- Zt— z, — z^; dans chaque cas la première ligne contient les valeurs remarquables de 2 rangées par ordre de grandeur croissante ; la dernière ligne contient les signes de cpÇs) dans chaque intervalle; suivant que ce signe est + ou — , x regardé comme une fonction de s esl une fonction croissante ou décroissante. Enfin, on a fait figurer z^ et Zi parmi les valeurs remarquables de s en choisissant z-i<, 3^. Ces quantités, ainsi que les valeurs zéro de x qui leur correspondent, doivent être effacées si elles sont imaginaires.
Signe de ?(=)! „ + .- -
Lorsque s^ et s^ sont réels, A peut être positif ou négatif; dans le premier cas, z doit être compris entre ■ — ^00 et s^ ou entre 3.1 et -(-«o; dans le second cas, entre Sj et S(. Si l'on a, par exemple, Si-|- 24 >-s,-h-aj, A >> o, 5-<S2. X est positif et plus petit que 3;) ; d'ailleurs Â| est négatif; la quantité A, (x — a:i){x — x^) esl positive. Les deux radicaux doivent être pris avec le même
CALCUL ikt£ghal.
signe lanl que s reste compris enlre — oo et i^,, avec des signes contraires tant que ; est compris entre t,, et j^; si = traverse la valeur i^,, le chemin d'intégration devra être fractionné de la limite inférieure à ÎJ,, de i^i à la limite supérieure. Le Tableau précédent permettra dans tous les cas de supprimer toute ambiguïté. SiZï, ^.1 sont imaginaires, A doit être supposé positif, donc A, négatif. On reconnaît sans peine que x doit ètrecomjn-is entre a^i et aia, et le Tableau permet toujours de lever l'ambiguïté de signe- Il reste à examiner le eas où l'on a s^-l-s.i = z,-t- Sg. L'équation («) se réduit alors à
La formule (CXH) subsiste; mais i l'une des racines Xi, Ws est égaie tî^— ^4'; on a d'ailleurs, dans ce ca
; remarquer qui ■utre est égale :
(3, — 3i)a j(gt-at — -gi-s») .
a;^ — 1 dans le cas contraire. Le Tableau qui donne la eorrespoi dance des valeurs de s et de .v est alors le suivant :
Signe de y(^
Signedeç(s)l
Quant à la supposition .,^
.=,3,, on doi égales aux ra
614. En appliquant ce qui précède au eas où L est un trinôme bicarré ayant au moins deux racines imaginaires, oo obtient les résultats suivants, dans lesquels on a fait figurer d'abord la trans-
ÉVALUATION Dits INltGRALES LK i.ONG b'uN CHEMIN QUELCONQUE- 43
formation employée, puis les limites entre lesquelles doivent rester les variables pour que les expressions sous les radicaux soient positives, enfin la relation différentielle. Tout est supposé réel.
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