CHAPITRE X

INTÉGRALES ELLIPTIQUES

I, — Evaluation des intégrales elliptiques.

616. On appelle intégrale elliptique l.oule inlégrale de la forme j ^\x, \J'j^) dx, où X est un polynôme en œ du troisième ou du quatrième degré, à racines inégales, elF^a:, v^X) une fonctioD rationnelle de x et de \/X. Soil par la substitution linéaire (CXXXIl), soit par un autre procédé qui sera étudié au Chapitre suivant, (CXLTII), on peut ramener une telle intégrale à la forme f fiy, \/^)dy, où Y := ^y' — g.,y — g^ est un polynôme à racines inégales et oi\f{y, v'Y) est une fonction rationnelle de y et de \/Y.

Supposons que l'intégrale proposée soit une intégrale définie, prise le long d'un chemin (^) allant du point x„ au point X\ , et ne passant ni par une racine de X ni par un pôle de F (a;, v/X); le long de ce chemin (x) convenons d'entendre par y/X la détermination de cette fonction qui résulte, par continuité, de cette même déterminalion pour un point particulier, pour Je point initial Xa, par exemple. On pourra, en appliquant le théorème de Cauchy, substituer au chemin (x) un chemin ayant les mêmes extrémités et qui soit équivalent au chemin {x), c'est-à-dire qui conduise à la même valeur de l'intégrale. On peut donc, si l'on veut, supposer de suite que le chemin {x) se compose de segments de droite ou d'arcs de cercle.

Si l'on emploie la substitution linéaire (CXXXIl,), les propositions du n" 597 feront connaître le chemin [y) correspondant

ail chemin [x) ; l'intégrale Jfiy, \jy) dy doil êlrc prise le long de ce chemin i^y). La détermination de \/Y pour un point quelconque;»' du chemin {y) résulte de celle de \/\ au point correspondant ;c du chemin {x) au moyen de la formule (CXXXITî): on obtiendra ainsi, en particulier, la détermination initiale ^/Yd de \/Y pour le point initial j^o correspondant au poinlxo-

Si l'on fait ensuite la substitution jf'^ p(«; ^2, ^a) et si l'on détermine, dans le plan des u, un chemin («) correspondant aux chemins {y) et {3;) par les formules

où les intégrales sont prises le long des portions des chemins (y) ou (x), qui partent des points yo ou Xg pour aller aux points y ou œ, et où Ud est l'une quelconque des valeurs de u qui satisfont aus équations concordantes

on aura, tout le long des deux chemins (y) et (u), en deux points correspondants, les relations j- ^3 pu, ^/Y — - — p'«, et l'on sera ramené an calcul de l'intésrale

-p'u)p'udii.

où le signe / porte sur une fonction doublement périodique, et où la variable doit suivre un chemin connu («). L'évaluation d'une pareille intégrale a été traitée au Chapitre VIII du Tome III.

Quant à la détermination du chemin (u), observons d'abord que ce chemin se réduit à une portion de l'axe des quantités réelles si l'on n'a affaire qu'à des fonctions réelles de variables réelles; on n'a alors qu'à en déterminer les extrémités. Lorsque les coefficients de X, Y sont réels, les variables x, y étant d'ailleurs quelconques, nous avons donné au Chapitre IX tous les détails nécessaires pour l'évaluation des intégrales / — —=' ( — ,--

qui figurent dans la formule (i), et l'on poui-ra donc, dans ce cas, déterminer le chemin (a) avec autant d'approximation qu'on le

INTÉGRALES ELLIPTIQUES. iy

voudra : on n'a d'ailleurs pas besoin de déterminer les points intermédiaires avec aulanl de précision que les extrémités u^, «i. parce que, pour l'évaluation de l'intégrale de la fonction doublement périodique, on peut remplacer le chemin (k) parun chemin équivalent; toutefois, on doit se rendre compte de la façon dont le chemin (w) est placé par rapport aux pôles de la fonction doublement périodique.

Il est à peine utile de dire que l'on petit tout aussi bien ramener l'intégrale proposée à une intégrale de la forme ff\z,\fL)dz, oii Z est de la forme (i — 3^){i —■ k^z-) et où /(a, \/Z) est une fonction rationnelle de s et de \/Z; par la substitution 3 = snM, ^Z=^sn'((, on est ensuite ramené à l'intégration d'une fonction doublement périodique.

617. Il nous reste, relalivemenl à la détermination des pôles et au développement de la fonction doublement périodique dans leur voisinage, à donner quelques indications qui n'ont, pas trouvé place dans le Chapitre VI du Tome IH,

En posant, pour abréger, y ^ pu, y ^ p'u, la fonction doublement périodique que l'on a à intégrer peut être supposée mise sous la forme

en désignant par P, Q, R, S des polynômes en y de degrés respectifs a, p. Y, S, poljnomes que l'on peut supposer sans plus grand commun diviseur.

On reconnaît tout d'abord, en remplaçant dans cette expression y et y par ^ -1- ^^ -h ..., ^ + ^^'^ -!-..., que o est un pôle de f{u) lorsque le plus grand m des nombres a», 2 p -i- 15 est supérieur au plus grand n des nombres ay, 2 5 H- 3; l'ordre de multiplicité du pôle o est m — « = p.. Si l'on ordonne le numérateur et le dénominateur de 'f{u) suivant les puissances croissantes de u, que l'on effectue la division du numérateur par le dénominateur jusqu'à ce qu'on ne trouve plus au quotient de puissances négatives de m, puis que l'on mette ce quotient sous la forme

A- -,-AiD - ^,VjDl'> --)-.... ■..-Au.-iD'l'-" --

la parue de <f{u) fini correspond au pôle o, c"esl-à-dire la parlle de 'f{u) qui devient infinie pour ti = o, sera (n" 358)

A :; 11 -:- A, Ç' (i • A , Ç" « -h . . . -:- Aji, z,'v--» u.

Considérons maintenant un pôle u •-'■- a de 'f{ii) qui ne soit pas congru à o, modutis 2 W|, awj. Le numéfatenr de '-f ( w) étanl fini, le dépominaleur doit être nul pour «=:=«; on résoudra donc les équations simultanées (:ny,y'

Soit j' ^= 6, ^'^ fo' une soin lion de ces équations et w --« une solution des équations yiu= b, ,p'k := b' \ u^a sera un pôle, si P + Qy n'est pas nul pour y --= b, y' ^^ b' . Pour s'assurer dans tous les cas que a est iin pôle, et pour trouver la partie correspondante de 'f{f*)i on pourra ramener ce cas au précédent en faisant le changement de variable m :^ v -I- « ; les formules d'addition permeUront d'exprimer p{v-{-a),^'{v + a) rationnellement en pc, p'v, b, b' et de transformer »(«) en une fonction rationnelle de pv, pV. On peut aussi, pour obtenir les premiers termes du développement de (p(a + i>) suivant les puissances croissantes de f, remplacer p{a-\-v)^ p'(«+c) par leurs développements de Taylor suivant les puissances croissantes de c, ordonner le numérateur et le dénominateur de tp{a-l- c) suivant ces mêmes puissances, effectuer enfin la division en ne gardant au quotient que les puissances négatives de v. Il n'est pas inutile d'observer que l'ordre de multiplicité de la racine b de l'équation

est l'ordre de multiplicité du pôle a, dans le cas où b n'est pas une racine commune à R et à S, on b' n'est pas nul, et où P + Qy' n'est pas nul pour y=è, y' -~ b' ; autrement, l'ordre de multiplicité est abaissé.

Ayant déterminé l'un après l'autre les pôles distincts de ■■?(«), puis les parties correspondantes de »(«}, la somme de toutes ces parties sera égale à la fonction »((;), à une constante additive près, que l'on pourra déterminer en donnant à u une valeur arbitraire, par exemple la valeur o, si o n'est pas un pôle. Si donc on reprend

INTÉGRALES EI.UPTlQrES- /'|9

les nolalions du n" 358, en écrivant loiUefols f{u) à la place de /{«),ona.ra

et toutes les constantes qui figurent dans le second membre seront connaes. La somme A"' -:- ...-'- A'^' est nulie.

618, L'intégrale indéfinieytp(M)rfM est, en général, une fonction linéaire de u et de termes tels que logrf(H — a), ^(u~a), p(u — a), p'(u — a), .... « étant un pôle quelconque ; à cause des formules d'addition (VII3) et de celles qu'on en déduit en. prenant les dérivées, on voit aisément qiie cette intégrale indéfinie contient un terme en «, un terme en î^m, une fonction rationnelle de pu, p' u et autant de termes en logrf(« — a) qu'il y a de pôles a pour lesquels le résidu correspondant n'est pas nul.

Pour que cette intégrale soit une fonction univoque de u, il faut et il suffit qu'elle ne contienne pas de logarithmes, c'est-à-dire que cliaque résidu A''' soit nul (1 = i, 3, . .., v). Pour qu'elle soit une fonction doublement périodique de u, avec les périodes 2W( , 2W3, il faut et il suffit qu'elle ne contienne ni logarithmes, ni terme linéaire en h, ni terme en Ç{ii), c'est-à-dire que l'on ait

On obtient ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale jFi^x, \/X.)dx s'exprime rationnellement en x, \/S. Il peut arriver que cette dernière intégrale soit la somme d'une fonction rationnelle en x, y'X et de logarithmes, multipliés par des constantes, de telles fonctions. Elle est dite a\ors pseudo-elliptique. Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont beaucoup plus cachées. Nous nous contenions de signaler ce problème, sur lequel le lecteur trouvera d'intéressants développements dans le dernier Chapitre du second Volume du Traité des /onctions elliptiques d'Halphen.

T. et M. - IV, 4

II, — Réduction de Legendre

619. Eti se plaçant à un lontanLre point de vue, Legendre a mon- Ué que l'évaluation d'une intégraledeiaforme rF(a;, y'X) dx se ramenait à des intégrations élémentaires et à l'évaluation d'intégrales rentrant dans trois types simples. Bien que le proeédé d'intégration que nous venons de décrire dispense d'appliquer le mode de réduction de Legendre, ce mode de réduction n'en garde pas moins un intérêt propre, non pas seulement parce qu'il peut être pratiquement utile dans cettains cas, mais surtout parce qu'il est l'origine de la classification des intégrales en intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce, classification qui s'étend de la façon la plus naturelle ans intégrales de la même nature (dites hyperelliptiques) où le radical porte sur un polynôme de degré supérieur au quatrième.

Tout d'abord, l'expression F(ar, i/X), mise sous la forme

— i— i-^, où P, O, R-, S sont des polynômes entiers en x, se ramène, en multipliant en haut et en bas par R ■ — S y/X, à la forme

M + -j=i où M, N sont des fonctions rationnelles en x. La pre-

V X mière partie s'intègre par les fonctions élémentaires. En décomposant N en fractions simples, on ramène l'intégration de la seconde