partie à celle d'intégrales de la forme / —=- ou / -r

que nous comprendrons sous le lype unique

r (x-a)Pdx ~J v/X '

) est un nombre entier positif ou négatif. Si l'on pose

i l'identité

i[(«-<.)'Vx] =

INTÉGRALES ELLIPTIQUES, 5l

OÙ r esi un eruier quelconque et où X' est Ja dérivée de XI, on U'ouve, après avoir intégré,

(.■ + a)ÂX,M.3H-a(2;--3)BX,.^î-.-6(r--i)CX...,

Si E n'est pas nul, c'est-à-dire si a n'esl pas racine de X, on peut résoudre cette équation par rapport à X,.(, tant que r n'est pas nul ; si E est nul, D n'est pas nul, sans quoi X admettrait la racine double a, et l'on peut toujours résoudre l'équation précédénie par rapport à Xr- 11 résulte de là que si p est négatif, X^ peut toujours s'exprimer au moyen d'intégrales analogues à indices positifs ou nuls, de X, etde quantités algébriques.

Pour ce qui est des intégrales à indice positif, elles se ramènent

à la forme / ■ ". - ; nous continuerons à les désigner par X^ et

J \/X nous emploierons la même formule de réduction en supposant a = o et en regardant A,B, C, D, E comme les coefficients mêmes du polynôme X. On peut alors résoudre la formule de réduction par rapport à X^+a si A n'est pas nul, par rapport à Xr+a si A est nul; on voit donc, si A n'est pas nul, que X3, Xj, Xj, ... s'expriment au moyen de Xo, X,, Xj, et si A est nul, que X2, Xj, Xj, . . , s'expriment au moyen de X^, X, . Dans le premier cas, on peut pousser plus loin la réduction ; cela est évident si X est bicarré, car alors X, se ramène aux transcendantes élémentaires en prenant x^ pour variable.

Bo rnons-nous aux cas où X a l'une des formes {i — a;^)(i — /r^2T^), ^a:^ — ^2^ — g'y. On voit qu'on n'a à considérer que trois types d'intégrales, qui sont, dans le premier cas,

/dœ rx'^dx r d.T

7^' J V^"' j ï^^aW^

et, dans le second cas,

r dx Ç xdx r dx

Ces intégrales sont dites respectivement intégrales elliptiques de première, de deuxième, de troisième espèce. Le type des intégrales de seconde espèce change avec la forme de X.

5a CALCUL IKTÉGRAL,

620. Ces mêmes dénominalions sont employées avec des significalions différentes, que nous expliquerons tout à l'heure, el qui d'ailleurs permettent toujours de dire, comme le lecteur s'en convaincra sans peine, que l'évaluation d'une intégrale elliptique se ramène à l'évaluation d'une intégrale de première espèce, d'une intégrale de deuxième espèce et d'une ou plusieurs intégrales de troisième espèce. Mais, en restant encore un instant au point de vue où nous nous sommes placés, nous voulons remarquer que si l'on regarde les intégrales ci-dessus comme effectuées le long d'un chemin et comme fonctions de leur limite supérieure x, c'est-àdire de l'extrémité finale de ce chemin, l'intégrale de première espèce reste finie quel que soit x, même pour x infini, tandis que l'intégrale de deuxième espèce devient infinie avec x, et que l'intégrale de troisième espèce devient infinie comme log(x — a) quand x s'approche de a. Les fonctions de x ainsi définies restent d'ailleurs holomorphes dans toute aire limitée par un contour simple, d'où le chemin d'intégration ne doit pas sortir, et où

-L ("s'il s'aeit des intégrales des deux premières espèces) , — —z

(s'il s'agit de l'intégrale de troisième espèce), est une fonction holomorphe de x. Mais les choses se passent d'une façon un peu différente aux environs du point co, suivant la forme de X. En nous bornant par exemple aux intégrales de première espèce, si l'on fait la substitution a: = -, on aura

r eh; r

or, dans le voisinage du point z^^^o, qui correspond au point X^=ca, -7^^^^^^^^^^= est une fonction holomorphe de z, mais

non , - — ; nous aurons l'occasion, à propos des no-

talions de Weierstrass, de revenir bientôt sur le second cas.

INTÉGRALES ELLIPTIQUES