III. — Notations de Jacobi

621. Nous avons maintenant à expliquer quelques nolalîons et expressions qu'il est indispensable de connaître.

Supposant k réel, positif et plus petit que un, et désignant par iip, on o est un angle réel, ta détermination positive du rjdical s/V— k^ sin^tp, Legendre pose

et appelle F{cfi), E(rp) fonctions ellipiiqnes de première et de seconde espèce, F"' et E'" sont les fonctions complètes.

Le mot fonction elliptique a pris,depuis Jacobi, un sens entièrement différent : on entend généralement sous ce nom les fonctions que nous avons désignées sous le nom de fonctions doublement périodiques du second ordre.

La fonction F(tp) de Legendre n'est autre ctiose que l'intégrale

elliptique de première espèce (n" 619) / ■■- ■

dans laquelle on a remplacé x par sintp, La fonction E('f ) de Legendre est égale à F(ffl) ^ /r* / ' </y; c'est donc une combinaison linéaire d'une intégrale elliptique de première et d'une intégrale elliptique de seconde espèce (n" 619).

Legendre a encore introduit la notation n(«,!p), où /( est un paramètre, pour désigner l'intégrale

r^ dtf r' ^'^y 1 f^~ î^"?— ^ ■

J„ (i-T-nsin''(p)4tp ^J^ (,^rr^si,i^)i^~"J„ (i-l-/^isiiiç)A¥'

c'est, en conservant la définition du n''6i9, la somme de deux intégrales elliptiques de troisième espèce, intégrales dont la différence s'exprime d'ailleurs au mojen des fonctions élémentaires.

5f\ CALCUL ISTÈGIIAL.

Il peut n'élrc pas inutile d'oUserver qae la vaitiiir de, ia csl toujours comprise entre k' et i, et que l'on a, pour chiujoe valeur de ff, itpScos'f,

622, Jacobi a inlroduit d'autres notations, sur lesquelles nous insisterons un peu plus. Les fonctions de la variable u, qu'il a désignées par les notations am», co amu, E(m),II(«, a), peuvent être définies par les formules

amit= f dniidu, ko amit = 3ni(K - «)h{u)=: I âa^udu, IÎ{u,<,-)=J ^^,g„a„snnt '

dans la dernière desquelles o; est un puramètre. Le module k doit être regardé comme une donnée, différente de o et de ï.

Les quantités que Jacobi désigne par R, K' coïncident avec celles que nous avons désignées par x(^°), x'{fc'^); la quantité 7, qui permet de construire les fonctions sn, en, dn (n"' 518, 306, formules LXXIn,7,8, XXXVllj^î), et qui figure dans les définitions précédentes, est supposée égale à -rj-> Les notations am(M, ^), E{ît, A), ... au lieu de am«, E(m), ... s'entendent d'elles-mêmes. Lorsque k est réel, compris entre o et 1, la quantité K de Jacobi coïncide avec la quantité F"' de Lcgendrc.

623. Considérons d'abord la fonction smii. La fonction dnit admet pour pôles les points 2 /iK + (3» + 1) iR', en désignant par /i et n' des entiers ; les résidus correspondants sont égaux à ± i. Si l'on se borne à assujettir le chemin d'intégration à ne pas passer par ces pôles, on voit donc que la fonction amw n'est définie qu'à un multiple près de ait. La fonction dn u est holomorplie à l'intérieur de la bande limitée par les deux parallèles qui sont le lieu des points Ri ± iK! quand on fait croître la variable réelle f de — oo à -i-oD. On peut donc regarder am« comme une fonction bolomorpbe à l'intérieur de cette bande, qui, dans le cas où fr^ est réel et plus petit que un, comprend l'axe des quantités réelles. La fonction am« est évidemment impaire.

INTÉOBAIES ELLIPTIQUES. 3:)

An reste ces résuUats apparaissent encore sur l'une des formules (CXV,),

y àniida--i]oi^(<,nu-imu).

La même formule montre iL|ue l'on a

d'où, en changeant u en — », ajoutant et retranchant, on déduit (Cil,) sin.nw, = sni(, cosam« = cr,«.

«24. Si l'on se replace dans le cas où k^ est réel, compris entre o et I, on voit aisément, à l'aide des formules précédentes et de celles c^ui donnent les dérivées, par rapporta», de sn«,cnK, dni(,queles fonctions A3,F(a) de Legendre se réduisent àdnw et m quand on y remplace f par am u.

C'est en réalité la fonction inverse de F(ffl) que Jacobi a designée par am«; en d'autres termes, il a regardé la limite supérieure f de l'intégrale / -^ comme une fonction de la valeur u

de cette intégrale, et il a appelé amu cette fonction. Dans les mêmes conditions, i(amM) n'est autre chose quedn«. Depuis Jacobi, on désigne parAamu, quels que soient u et k^, exactement la fonction de u que nous avons désignée par dn u.

En regardant amu comme une fonction holomorphe de u dans la bande définie plus haut, on aperçoit immédiatement les rela-

Quand « augmente par valeurs réelles et que k'^ est compris entre o et i , on voit immédiatement que la fonction am u augmente toujours; son signe est celui de u.

Les expressions de sincoam«,coscoamM, ico amw, au moyen de sn(i, cni(, dnw, se déduisent immédiatement de la définition de coam« et des formules (LXXII^).

56 CALCUL INTÈGEAL.

025. LafoncUonE(«)deJacolHosUinivoqiic; on voit (n" 432) qu'on peut écrire

le nombre E est égal (n" 432) à f dti-udu\ on voit qu'il estégal

« E(K) ; c'est ]e E'" de Legendrc.

Le théorème d'addition de la fonction 'Q conduit de suite aux théorèmes d'addition des fonctions Z(m), E(«), à savoir :

on en tire aisémenl, la relation

(a) iZ(a)-Z{a-:..u)^Z{a-u)^ " '"' ■^" — ■■

Signalons encore la fonclion il{u), introduite aussi par Jacobi cl définie par l'égalité

On voit comment, dans cul ordre d'idées, s'introduit la fonction 6.

626, La fonction II(i(,!7.) de Jacobi s'exprime au mojen des fonctions Z, 0; celle expression s'obtient en appliquant les règles générales d'inlégration, ou en intégrant, entre les limites o et u, les deux membres de l'égaillé («); on trouve ainsi

(Cil,) n(„,«) = «Z(a)- ^ log ^z^y

ou encore, en tenant compte de la définition de Q(«),

Dans ces deux formules, la détermination du logarithme dépend en généraldu chemin d'intégration {n" 501); il est à peine utile de signaler le cas, fréquent dons les applications, où le second

INTÉGRAr.liS ELLIPTIQUES. ^17

membre doit être réc! parce que le premier l'est évidemment. Ou a, en particulier,

(Cllio) n(K. a) = KZ(ï) --^KE(a)--ïE.

L'expression de n(fi, a), ati moyen de la fonction Ù et la définition de cette fonction, mettent en évidence que la dérivée de n(w, a), prise par rapport à M, s'exprime an moyen de E(u); il en résulte ce théorème de Jacobî :

La dérivée d'une intégrale elliptique de troisième espèce, par rapport à l'intégrale elliptique de première espèce prise comme variable, s'exprime au moyen d'intégrales elliptiques de première espèce et d^ intégrales elliptiques de seconde espèce.

Le théorème de l'échange du paramètre et de l'argumedl. s'exprime par ta formule

ii(«, ce) -n(a, «) = wZ(a} - « z(«),

où le second membre devrait être augmenté d'nn multiple de a-7:/ si on laissait aux fonctions H toute leur indétermination.

Le théorème d'addition de la fonction II s'exprime par la formule

'2'°Se(«+ic)e(^ + a)eu+^-=.)

[1 — ^2 sn' (w — a) sD'(y — a)] [i — k^ sn^n sa^ (w i- i> -1- a)] ^ -Z(a+« ) + Z(g-HP) - H Z( « + tK' ) -Z(c-<-tK ') Z(„„)Z(=.-<.) + Z(«-,'K')-Z(i.-(K'} ■

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