IV. — Notations de Weierstrass ( ' l
l7. L'intégrale elliptique normale de première espèce, au sens
---- . oi'i Y I - ,i v^~ <r„v — o'o ! on
ia désigne par J [y, y/ï^) : cette intégrale n'est délermiûée que si l'on ae donne la valeur initiale de \^/Y et le chemin d'intégration, C(ui ne doit passer par aucun des points e,, e^, e^, et Je long doquel les valeurs de \/Y se déduisent par continuation de la valeur initiale. A cause de la limite supérieure, quelques remarques concernant ce chemin sont nécessaires.
Considérons un cercle décrit de l'origine comme centre et contenant à son intérieur les points e,, Cs, e^ ; désignons par S la région extérieure au cercle, dans laquelle on regarde comme une coupure la portion de l'axe des quantités négatives qui est extérieure au cercle, en sorte que la région S est limitée par le cercle et cette coupure. Dans S, —- est une fonction holomorphe de y, déterminée dès qu'on se donne sa valeur en un point : elle peut être représentée par une série '$ I -z-\ entière en -jzii ne
conienanl que des puissances impaires de --= et commençant par V7
I terme en
j~.-] • Au point de S OH l'on se donne la détermination de i/Y, l'égalité -^ = '£ j -^^ | détermine sans ambiguïté lu valeur de ^j, qui est dès lors déterminée dans toute la région S. Si l'on désigne par <S, ( -7= j la série entière en —^, commençant par
un terme en —^, dont les différents termes ont pour dérivées, par
vy
rapport à y, les termes correspondants de 'i' ( -7- )' changés de signe, il est clair que l'on aura
.ri^Mé)
quel que soit le chemin d'intégration, pourvu qu'il ne sorte p de S. Si la fonction pK est formée avec les invariants ^2, §3, da la même région S, les égalités pif^j^, p'u = — \/Y définisseï à une constante additive près de la forme 2H(i)| + a n'ws, comme une fonction holomorphe do y; cette fonction ne p(
INTÉGRiMÎS ELLIPTIQUES. 69
différer de 'J?, ( ~7^ j V^^ P^^' ""^^ constanro C, puisqu'elle doit
vérifier dans S, comme la fonclion $i , la relation t- =^ =:; 'a
foncUoQ « = G + $'i (-7^1 devant vérifier l'égalité pu:=^y pour de grandes valeurs de y, G est nécessairement de la forme 2 7iu, H-an'wj; en d'autres termes, u^'Si (-j=] est une solution des éc|nations pu =^y, p' u = — - yï ■ toutes les autres solutions s'obtiennent en ajoutant à celle-là des multiples entiers des périodes.
Ceci posé, considérons un point quelconque y<, et un chemin d'intégration allant de ce point au point oo; nous nous bornerons à supposer, relativement à ce chemin, qu'il flnit par rester dans la région S, à partir du pointy,, par esemple, point où le radical y/Y a acquis la valeur ^Y , , déduite par continuation de la valeur donnée ^Y^ de y/Y en y^. La valeur S{ya, \/Y(i) de la fonction J (^, \/y) en^o sera définie par l'égalité
4 >/ï 4 l/Y WjJ
J [y^, \/Yo) ne dépend nullement de la partie du chemin d'intégration qui vade j'i à l'infini, mais seulement de la portion du chemin qui va de yt> à y t. En un point quelconque je de cette portion de chemin, la fonction J [y, \/Y) est définie par la même égalité, où il faut seulement effacer l'indice o ; elle vérifie donc tout le long de ce chemin l'égalité -y- = — —, et peut être regardée comme la continuation, le long de ce chemin, de la fonction $1 ( ^ I avec laquelle elle coïncide aux environs de r, . Tout le
Vv'j/
long de ce chemin, comme aux environs du point y, , elle vérifiera les équations pu ^y, p'u^ — </Y, et il en sera ainsi, en particulier, au point ^o, pour lequel nous désignerons par Ut> la valeur de la fonction J [y, \/Y).
Si l'on se donne les deux entiers n et n', et que l'on imagine, dans le plan des h, un chemin qui aille de Hq à Mq-|- inu>,-]- an'wj
bo CALCUL lNTfiGTl*L.
Siins passer par aucun des pôles ou des zéros de p' u, le poinl y^pu décrira dans le plan des y un cerLain chemin fermé parlant de j'o pour y revenir, en ramenant aussi le radical ^Y, qui ne cesse d'être égal à — p' u, à sa valeur primitive \/Yô- Si donc on désigne par (C) ce chemin fermé parcouru en sens inverse, et si l'on considère la valeur de la fonction J {y, \/Y) au point yo, origine du chemin d'intégration formé par le chemin (C) suivi de l'ancien chemin d'intégration, cette valeur sera égale à l'ancienne valeur «„ augmentée de anw, H-a/i'cùa-
En résumé, la fonction i{y, \/Y), si on la définit seulement par les valeurs de jK et de y'Y sans se donner le chemin d'intégration, n'est définie qu'à une somme j/im, + 2n'wj de multiples de périodes près; en changeant le chemin d'intégration, on peut l'augmenter d'un nombre quelconque de la forme anw, -]- an'ws, où n et II' sont des entiers. L'ensemble de ses déterminations est identique avec l'ensemble des solutions des équations (en u), pu=y, p'«:.^ — V'Y-
628. L'intégrale elliptique normale de seconde espèce, J'(y,v/ Y), au sens de Weierstrass, est une fonction analytique de^ dont la
dérivée est ,^- Cette condition permet de la définir, à une constante additive près, comme une fonction holomorphe de y dans toute région limitée par \i» contour simple où -,- est aussi une fonction holomorphe.
Si dans la fonction ^u on remplace u par J (y, \/Y), on obtiendra une fonction àe y dont la dérivée sera -j— X -r- - c'est-àdire ~ • On peut donc prendre pour i'{y,\/Y) précisément la
fonction i:;[j(j^-,^Y)]. L'intégrale elliptique de seconde espèce est ainsi définie par les mêmes éléments que l'intégrale de première espèce ; quand le chemin d'intégration change, de façon que 3(y,\/Y) augmente de an w, + 2 «'wg, i'iy, v'Y) augmente évidemment de 2/r/ii + 2n'ï|3. Dans la région S, la fonction J' (y, v/Y) peut être définie comme une fonction holomorphe de j; ce sera
INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 6l
une série procédant suivant les puissances entières de -^ dont les termes auront pour dérivées respectives les termes de la série y'S ( "7^ ) ' ^"® commencera par un ternie en •Jy et ne comportera aucun terme constant, puisque cette série peut aussi bien s'obtenir en remplaçant u par --S, ( ~ ) dans la série - — — u' ■'•. . . qui définU Çh.
On pourra poser, en général,
en ciioisissant convenablemenl, la constante d'intégrallon.
629. L'intégrale elliptique normale de troisième espèce, au sens de Weierstrass, intégrale que l'on désigne par 3 (y, \/Y ; y,, y" Y, ), est une fonction analytique de la variable y et d'un paramètre y, , dont la dérivée par rapport à y est
■^ y— ri /y
Si l'on y remplace y, \/Y,y,, \/Y, respectivement par pu, — -p'u, J3«i, — p'ui, elle deviendra une fonction de u dont la dérivée, par rapport à ri, sera - — -' ■ Une telle fonction est
on pourra donc prendre pour J {y, \/Y ; y, , \/Y,) l'expression que l'on obtient en remplaçant «et m, par J(j', \/Y), J {7,, y/ÏT) dans log "^ ' ~ -+- ttuff.. Cette fonction, si même les quantités
j(y, \/Y), J(/t, v'Yi) sont entièrement déterminées, n'est définie de cette façon qu'à un multiple près de a-ni, à cause de la présence du logaritbme.
Si l'on remplace, dans l'intégrale normale de troisième espèce, }{y,</Y) par J{y,v/Y)+ anw, + an'wa, elle augmente de la
ha CALCUL INTÉGRAL,
quantité
-a(«7i,+ «'«s)j{j„ï/Y;)-H3(7i:^,+ 7î'oj3)J'(r,Vï7) + 2n"'r;.
630. Le ihéorèine de l'échange du paramètre eL de l'argument s'exprime dans les notations de Weierstrass par l'cgalilé
= J (y, v^Y) J'O-,, a;) - y{r, /Y) J O-i^YI) + (27. + i}^L
Les lliéorèmes d'addition pour les intégrales normales des trois espèces sont contenus dans la proposition suivante que nous empruntons textuellementàM. Schwarz( /ï'orTJiîi/eï, etc., n° 57).
Si l'on pose
«I -1- Ms ^- i-h., puis
^-0 = - fj' Uo, y,^- — jyui, r^ ^ - P' «i' JKi, ^ — p' Ui, on aura les égalités
Chacune d'elles exprime que, si l'on attribue à chacune des intégrales qui figurent dans son premier membre l'une quelconque des valeurs en nombre illimité qu'elle est susceptible d'avoir, la somme obtenue est égale à l'une des valeurs en nombre illimité que peut avoir le second membre.
SUBSTITUÏIOSS BlHATiOHNELlËB.
