Notre but est d'intégrer l'équation

où R(2) désigne le polynôme en z obtenu en remplaçant dans R(3), Ss), Z\ par s et s^ par i ; nous écrirons à l'occasion Iî(s, i) pour conserver la trace de la seconde variable. Nous supposons que R(s) n'a pas de racines égales, et que a„, a, ne s'annulent pas simultanément, ou encore, que la quantité g^ — ^'^ê^l n'est

SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 65

pas nulle. Nous avons vu (n" 598), qu'il existait une substitution linéaire s =: - ■ "^ ■ j qui ckaneeait , . . .= en ——=■, où le poiynonie

Y = 4y' -^ g%y — gi ^^^ formé avec les invariants fondamentaux de la forme R (s) ; les coefficients a, p, y, S de la substitution linéaire sont des fonctions rationnelles des coefficients deR(s) et d'une des racines de ce polynôme. Cherclier une solution 2 de l'équation (a) qui, pour une valeur de u arbitrairement choisie M ^=. K,,, se réduise à une valeur donnée Sq, tandis que sa dérivée s' se réduit à une détermination donnée s^ de y/R(3B), revient donc à trouver une solution^ de l'équation

qui pour h ■-= «0 -se réduise à la valeur j'^ correspondant à ^oi tandis que sa dérivée y se réduit à j'J, = — v/YÔ, la détermination de spr^ résultant de la détermination de \/R(2o), comme il a été expliqué au n" 598. Or, la fonction Jïi(= jj(m; g-^, ^3) étant construite, on pourra déterminer un nombre l'o tel que l'on ait p(i^ z=)^D, p'i'o=)''(,; la fonction y ^ j>((t — «o + fo) vérifiera l'équation {h') et satisfera aux conditions imposées : donc la fonction

"fP("— «0 -t- Co) -H â vérifiera l'équation («) ; pour u =; ho, elle se réduira à =o, tandis

que

a dérivée se réduira à s' ; c'est évidemment la seule fonciioi

lalytique qui satisfasse à ces diverses conditions, lesquelles déterminent les valeurs pour u = «„ de toutes les dérivées de z. D'ailleurs, y^ et^^'^ s'expriment rationnellement au moyen de Sq, s'„ et de a, ^, y, S. Le théorème d'addition de la fonction p montre, dès lors, que s s'exprime rationnellement au moyen de jj(i( — iffl), j3'{« — i(o)i 2i)i 2« *it de a, ^, §, y ou de «o, .,., a, et d'une racine de R(2)i mais, quelle que soit cette racine, le résultat doit être le même; l'expression finale de z doit donc, en vertu de la théorie des fonctions symétriques, être rationnelle en p{u — i(o), p'(h — i(o), S|„5'D,ao, «1, "ïi o,-i-,0",\ il en est évidemment de même pour s'. Cette conclusion apparaîtra directement

SLir la méthode (l'intégra lion de l'équation (a) qu'il nous reste à développer, méthode qui meilra aussi en évidence ce fait que p{u — Uo), p'{u — «o) s'expriment rationnellement au mojen des, z', Sq, s't,, a^, ...,«,, en sorte que les substitutions qui expriment s et s' en fonction de p{ii — «o), p'(u^Ut,) sont des substitutions birationnelles.

Nous nous bornerons au cas où «o est difFérent de o; car, dans le cas où «0 «si nul, la substitution entière du n" 598 fournit aisément les substitutions birationnelles cherchées.

633. Ayant choisi arbitrairement une détermination de \Ju(,, on pose z = -= y -' afin de ramener l'équation (n) à la forme

dans laquelle B-,, B^, B, sont donnés parles formules

L"équation dllTéi'cntielle en y est de la même forme que l'cqua- (ion

{i^}' -!'■-'■}■•'" + irr'"^sr''-~-'p-<;

que l'on a obtenue au n° 430 et où a est une constante.

En identifiant les deus seconds membres on oblietit les trois équations

Bi =-p«, lîj =p'«, B4 = 9pîfi — ^pV^GpVf + ^-.i.

Si entre ces trois équations et la relation p'^a^ 4 J'^*^ — ^af — g.t on élimine d'abord pa et p'a, on obtient pour les invariants g^, g-, de la fonction pies valeurs B^+SB^, B^Bi — B' — B^ qui, comme on s'en assure aisément en remplaçant B^, B3, B4 par leurs expressions en fonction de a», . . . , «j, coïncident avec les expressions (CXLIIIi) des invariants fondamentaux de la forme B(5). Les

SL■BSTITlTIO^S BIRATiONNELLHS. 67

deux éqiialions

(CXLIIIO p« = '''^~"""S p-a^'-^^tzl^^JzJI>l,

monLrent ensuite que la cooslante a est dclerminco, à des multiples près des périodes 2^1,2(1)3.

De ce que la fonction (n" -450)

vérifie l'équalion difFérentielle en ^, il résulte donc que l'équ! lion (fl) admel la solution

P tt — p "

2/«o P"~pn «0 v'ao

où les invariants g'^, g^ de p sont les invariants fondamentaux (CXLIII,) de R(s). On en déduit facilement, en utilisant la foimule d'addition (CIIIs), la relation (')

L'expression de ;' s'obtient aisément en difTérentiant la seconde

(I) Ainsi qu'on Ca dit au n° 616, les formulas (CXLIIt) perToeUcnt de ramener uoe intégrale elliptique quelconque à une intégrale portant sur une fonction dou> blemenc périodique. Lorsque le chemin d'intégration est donné pour la variable a de l'intégrale elliptique, les diflicultés relatives k la détermination du chemin correspondant pour la variable u de la fonction doublement périodique, se retrouvent naturellement, dans le cas général, quand on emploie la substitution (GXLIIIj); toutefois ces difficultés disparaissent quand tout est réel, coefficients et variables. D'ailleurs la méthode actuelle offre cet avantage de ne pas exiger la résolution préalable de l'équation R(3) = 0; i la vérité cette résolution devient nécessaire quand on veut effectner les calculs numériques, oe fût-ce que le calcul des périodes; mais les expressions auxquelles on parvient pour l'intégrale elliptique, sans effectuer la résolution de l'équation du quatrième degré, peuvent fitre suffisantes, et, d'un autre cût^, il est bon de rejeter à la fin tous les calculs numériques, de manière à miens se rendre compte du degré d'approximation. Signalons l'application de cette méthode ans intégrales du type / ■■ , ■ - dz.

68 CALCUL INTÉGnAL.

expression (CXLIlIj) de s et en utilisant encore la formuîe d'addition (CIII,). On trouve ainsi (I)

d'où, en tenant compte de la forinnlc (GXLIII5),

(CXLllIi) s'= .-^(2p(i-«„zî-ftu,s-«0-

La troisième expression (GXLIII3) de z est rationnelle en pu, p'u, \/«n, a,, «21 «31 «li la dérivée s' peut donc s'obtenir sous la même forme. D'autre part, l'équation {CX.L1ÏI.,) montre que jj m s'exprime rationnellement au moyen de z, z', \/âli "i ! ■ • • , ^^ l'éqnation{CXLIIl3), résolue par rapport À p'u, montre quep't; s'exprime aussi rationnellement au rnojen de z, s', \/rtoi ci,, ... . Si donc on se donne deux valeurs concordantes z„, z' de s on peut

où p est un nombre entier positif que l'on peut supposer être égal à 0, 1, 3 {n° 619). La substitution (CXLIIIj) donne de suite

oii c est une constante arbilraire; la relation (CXLIIIj) donne ensuite la sniyante

J l'ail)

OÙ c est une constante arbitraire, et qui permet ^'obtenir /—-----. Les inté-

J ■JRI»

grales du type / ■ ■ où p est un entier négatif, se ramènent d'ailleurs, par

le changement de s en -, à des intégrales du même type, où p est positif, mais 0(1 R{z) est remplacé par un autre polynôme R|(3) ayant les mêmes invariants que B{z).

C'est par cette voie que l'on a obtenu les formules (CXLIV).

(') Les valeurs de u qui annulent z' apparaissent immédiatement sur la promièie des expressions de cette fonction : elles sont congrues {modulis 2w„ •la,)

à — -I i-U|, — - + («!, — - -h Wj; en remplaçant, dans l'expression de z,

u par ces quatre valeurs, on obtient les quatre racines de l'équation R(2) = 0. C'est la résolution, au moyeu des fonctions elliptiques, de l'équation du quatrième degré.

SUBSTITUTIONS RIliATlONSET

détermmei, à des multiples près des périodes, la valeur correspondante Cb de M qui vérifie les équations (CXLIII,.^) et les expressions de pCfl, p' fft seront rationnelles en z„, s'„, \ja„, a,, .... Cette valeur étant déterminée, si l'on remplace dans les équations (CXLIIIj.a), u par (/ — Ho + fo on obtient manifestement, pour s, une solution de l'équation (a) qui, pour u = «e, se réduit à s^, tandis que sa dérivée se réduit à .e'^; cette solution est la seule fonction analytique qui satisfasse à ces conditions.

En appliquant à p(« — Wu + <'o) le théorème d'addition, on voit que la fonction s ainsi obtenue s'exprime rationnellement (amsi que sa dérivée) au moyen de p{it — u„), p'{u — h»), =„, 2^, s/aai "^1 ) ' ■ ■ ■ O" ^°it de même, en considérant successivement les équations {CXLTII,) et (CXLIII3), que p{n — Uo+v«), p'{u — i(o -I- Co) et, par suite, p{u — Uo), p'{ii — iio) s'expriment rationnellement au moyen de s, z', ^o, z^i v'""' "1 > • • ■ ■ *-*" ^'*^''' encore que l'irrationnelle \/ao doit disparaître des résultats qui ne peuvent changer quand on y remplace \/â^ par — \/«o- Les substitutions qui permettent d'exprînier z et «' en fonction de p(u— Uf,), p'{u — Mu), sont donc des substitutions birationnelles, comme on l'avait annoncé.

634. On obtiendra les résultats finaux sous une foi due à Weierstrass, en procédant comme il suit :

En reprenant les notations du n° 631, faisons, da di(rérentielle(«),

XiZ-

du O-i'i. -h l^a)^ du '

élégantr

elle deviendra

C'est une équation du même type que l'équation («). Oi suite que les invariants fondamentaux du polynôme du qi degré qui constitue le second membre de cette équation mêmes quantités ^2 et^^i que pour R(s). H en résulte qii met la solution

I volt de

sont les 'elle ad-

\^jK^u

aS'AipH + AiA; — A^Aj

CALCL'L INTÉGRAI.,

OÙ les invarianLs ^j, g^ de la fonction pu sonl encore les invariants fondamentaux de la fouclion R(;). Tl en résulte aussi que la dérivée de Z est donnée par la formule, analogue à la formule (GXLIIIO,

On obtient une solution : de l'équation {«) et la valeur correspondante de -^ en remplaçant, dans ; ' '^' , Z par ta valeur

quedéfmitréquation(C), et, dans i'équation (D),Zpar ^— /__- ^S dï ri dz . .

du P^"" ()...- -X,)' ^ ■ """ '™^'' ""'■

où l'on a posé

0„ = A„ pI — 1 A, 3.; ^i -1- A-îXI,

Ci = A(,]jf — aA, Xifi) -f- AîXj.

Si, dans les seconds membres, on remplace Ao, A,, Aj par leurs valeurs

Ai --■ — (iiJR),j-i-2ii, |j.iHÎ,,>.. -i-[f.| R'xj),

on trouve immédiatement

C„ r--— R'ij, C, ■■= ^ r;,,),^, C, = ^ R),3,

en sorte que l'équation (D) peut s'écrire sous la forme

(.0 v/Â^ J^ = a(Xi^-X,)'p«-^(a:î.^ + 3R^,z + RÏ.5),

qui montre, comme l'équation (CSLIII.,), que pu s'exprime rc lionnellement ao moyen de z. z'.

SUBSTITUTIONS BIBATIONNELLES. 7'

En écvivant que l'expression de -r- ainsi obtenue vérifie l'cqualion (a), en se rappelant que l'on a Â^ = R().,. Î'î), en utilisanl enfin l'identité du n" 631, où l'on remplace s, par ;;, 2^ par ] , on trouve de suite la relation

où j- a été mis à la place de pu. C'est la relation du second dcgi'c en 7 el s qui doit (n" 441) exister entre ces deux fonctions doublement périodiques du second ordre. Nous en représenterons le premier membre par

où A, B, C sont des poljnomes du second degré en y et a, ^, y des polynômes du second degré en a; les expressions esplicites de ces poljnomes résultent de l'équation (F).

Les notations précédentes permettent d'écrire l'équation (d) sous la forme

/A;;' = -(asj-i-iî);

d'ailleurs, en différée liant l'équation (F), on trouve de suite

(■>.A:-rB)=' + [2aj-hp)/-o;

on en conclut, par l'élimination de ;',

Cette valeur de s est nécessairement l'une des racines de l'équation (F), considérée comme une équation du second degré en z;

l'autre racine

L'cxpre.sio

obtenue en rt

-Tî implaç;

mt, dans

ne peut

diffère 1

•de.

irk

celle c,«'on valeur que

aurait donne

l'équation (C) ; cette dernière valeur permet d'obtenir simplement les valeurs des, s' pour « = o", en effet, si, dans ie second membre

de (C), ou suppose pu, p'ii remplacés par leurs dcveloppemenis en série suivant les puissances ascendanLes de u, que l'on substitue le résultat dans =^^ — ~, que l'on ordonne, enfin, suivant les puissances ascendantes de ii, on trouve pour les premiers termes

"^^ Xi '^ Il '' pour i( = o, s et ;' se réduisent doi

Ainsi ' ^ "-^ est la solution de l'équation (a) qui, pour

u = o, se réduit à j^, tandis |que sa dérivée se réduit ^ -^ ■

63o. Si, maintenant, dans les calculs précédents, on suppose (/ remplacé par u — ((„, en sorte que j, y désignent non plus pu, p'u, mais bien p(u — Uu), p'{u — «(,); si l'on désigne ensuite par 3o, z'^ les valeurs auxquelles on veut que se réduisent, pour u^ ti^, la solution a de l'équation (et) et sa dérivées'; si l'on pose ),, =z„,\2 = i; si l'on choisit pour \/X„ = \/K{zt) la détermination qui est égale à s',, ; si l'on désigne par r{Zf s,,), /((s, z„), ce que deviennent, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les quantités

qui figurent dans l'équation (F), ce qui revient à poser

{■?-) } -l-^(ao«4-l-2«,fl5 — 2a|)(3'^-4ïoS-^-3g)

f -H - («i«t— «îa3)(3„-h3)-+-(«5ffli— rt^),

en sorte que la relation (F) du second degré entre z et

SUUSIITUTIOKS BIRATIOKSKLLKS. 73

y = p{u — »||) prenne la forme

si, enfin, on conserve les notations As-+ Ba -|- G, 7.y'^ -r p>'+'; pour en désigner \c premier membre, la fonclion

f^^^ = = ÏA "îÂ

est la solution de l'équation différentielle {a) cjui, pour n =z. «„, se réduit à s», tandis que sa dérivée se réduit à s'^ (').

L'équation {d), en tenant coinplc des notations actuelles , montre que l'on a(-)

c'est la racine de l'équation c./^ + ^ j 4- y = o qui devient infinie pour 3:=Zo; l'autre racine de cette même équation est

on le voit en faisant zz^ Zi, dans l'équatiun F (2, z,,, y) = o.

636. Soit f{u) une fonction analytique univorjne qui vérifie l'équation {a); ce sera, d'après ce qu'on vient de voir, une fonction doublement périodique du second ordre. Il est clair, d'après l'analyse précédente, que l'on satisfera aux équations

eu supposant

et cela quels que soient u et Wo- H oe faut pas oublier que A, B, G

(') Notons, en passant, les circonstances dans les résultais; r(z, Zg), A(z, z, ), pour z = s,, se rédnisen *"(^i-ïi)>r) est symétrique en a, a„.

(') Cette relation est due à Weierstrass; oa en déduit iramédi sion de p't« — «,) en^fonetion rationnelle de î cl

74 CALCUI. INTÉfiRAL,

sont des fondions entières de Zi, el de j, oii 11 raiil, supposer que ;„ est remplacé par/(iiu) eljKparj3("— i'o); dans ce qui suit, nous supposerons de mêrae que, dans a, p, y, on a remplacé j, ;„ p.r/( „),/{«.).

l^a seconde racine

— B— /'(tti,)j)'(K— Ku)

de l'équation As^ +B3-|-C:^ o n'est autre chose que /(a «„ — u), puisque cette dernière fonction satisfait à IVqualion différentielle (a) el, pour u— ii„^ se réduit à /{;/„), tandis que sa dérivée se réduit à — /'{ub)', on en conclut

les seconds membres sont des fonctions rationnelles de /{««), ,p(" — ««).

De même

^[/■(«)-/(Wo)?

est une racine de l'équation en y, ^JK' + ?y + *]■ ~ o. Si, dans l'égalité qui précède, on change, en désignant par a, b les pôles de f{it), ita en a -\- b — h„, on a

puisque l'on a {n" A'i'i)

df(.a-A-b — ii,;)

p(«H-«i> — a — b) est donc la seconde racine de l'équation a.y- + p^y + y. Puisque, pour u ^^ a„, elle se réduit à — ' .

on voit {') que l'on a

" Kl/("Jl ■

PC^«-'ï-6j=--î

En supposant ;/„ = o dans les formules (i-5) du numéro précédent, on obtient l'expression rationnelle de /(fi) au moyen de pu,

i, Journal de Crelle, l. VL.

SUDSTITUTIOSS BIHAtlOiSKELLES. Jù

p' u, la relation algébrique entière du second degré entre /(«) cl pu, l'expression vationnelle de pu au moyen de /(«), /'()() et l'on pourra en déduire l'expression rationnelle, au moyen de/( u), /'(h), de toute fonction doublement périodique ayant les mêmes périodes que f{u) {n''43o).

L'équation (4), en y remplaçant u par u -\- Ut,, jointe à l'équation (5) elle-même, fournit, au moyen des formules (Clll), diverses formes du théorème d'addition de la fonction /(«)■ Le lecteur pourra multiplier les applications en prenant pour le polynôme du quatrième degré (ou du troisième degré), R(3) les polynômes qui conviennent aux fonctions p, ^, sn, ....

637. Regardant toujours s, «„, *', z'^ comme représciitant/(«), /(«o)i /'(")/'("«); P"'^ " *"' "o comme des variables liées par la relation u — u^ ^= c, où c est une constante, les relations

du = duf, dz =f'{u)dii. dzfi =f'(ii„)dua mmédiatement celles-ci :

V(z,z^,pc) = o,

où\/R{s), \/K(so) désignent les déterminations des radicaux qui sont égales àf'[u),f'{ua).

On a, d'ailleurs,

Ces relations, où pc joue le rôle de constante arbitraire, peuvent être regardées comme des formes différentes de l'iniégralc générale de Végiiation différentielle d'Euler

cette intégrale, que l'on peut aussi regarder comme obtenue par 1 '.élimination de «„ entre les équations transcendantes

€St algébrique.