ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIEE.LI'S

638. Si l'on considèi'e en générai une foncliony(.ï!|, x^, ...,œ„) des variables Xi, x^, ..., a:,, qu'on puisse regarder comme homogène et de degré v quand on regarde ces variables comme étant respectivement des degrés a,, a^, ..., a„, c'est-à-dire pour laquelle on ait, quel que soit \,

on aura, par une généralisation aisée d'un théorème classique,

• ' ■' ^ ^ dx^ ' ^ ^ àx^ '" " "■ àx,i

Les expressions de g-i, gi^, (j, fioi ^at ■ ■ ■ *"^ moyen de tù,, Wj, montrent que^ si l'on regarde u, , ws comme du premier degré, les quantités énumérées sont homogènes avec les degrés respectifs — ^, -~ 6, — la, — I, — 2, ...; elles conserveront ce même caractère, comme aussi leurs degrés respectifs, si, au lieu de les regarder comme des fonctions de w, , (O3 on les regarde comme des fonctions de g^, gs, pourvu que l'on regarde ces dernières variables comme ayant les degrés — 4: — ^i c'est ce que nous ferons dans la suite. Dans ces mêmes conditions, si l'on regarde la variable u comme étant du premier degré, les fonctions

^(w; ^3, é'î), K<,u-\ gi, Si'h pi'^; e-i< gih •^a:, ^«i. ^«p, ■-■

sont homogènes (') el des degrés respectifs i, — i, — 2,0,1,0, —

(') Dans les fouctions Sr(i'), la variable v = doit 6tre regardée comme

étant du degré 0; les fonctions elles-mêmes, envisagées au point de vue où nous

ÉQUillOfiS Alix DÉlilVÉES PARTIELLES. 77

Pour les trois premières fonctions, par exemple, les équations (VI11,,2,3) appartiennent au tjpe (a); il en résulte qu'elles vérifient des équations aux dérivées partielles (b) que nous nous dispensons d'écrire.

Si nous considérons deux fonctions m et i des seules quantités g.2, ^j, qui soient homogènes et du degré o, ces fonctions ne dépendent au fond que d'une seule variable, et, par conséquent, l'une quelconque d'entre elles peut être regardée comme une fonction de l'autre. Tel sera le cas pour deux quelconques des fonctions k, k', T, q, 3(o), J('c), K, K', .... La dérivée de m, regardée comme fonction de A, sera évidemment donnée par les formules

639. Noos allons montrer, d'aprèsAVeierslrass ( ' ), que la. fonction ii(u', gîi gs) vérifle une autre équation aux dérivées partielles que celle qui résulte de l'homogénéité. Dans ce qui suit, pour abréger l'écriture, nous écrirons d, Ç, p, p', ... au lieu de

continuerons d'employer les accents pour désigner les dérivées par rapport à u.

En égalant les dérivées partielles, par rapport à g.,, g^ des deux membres de l'équation ji'* =: ^p^ — giP — ê'^j on trouve de suite les relations

""'T-uW,"^'

, dp

àg,'

, à dp

ap!-

'àg^

■ 1 = ap'

àg-i

qui fournissent aisémenl

Jess

;uiv

■au tes

J ri dp]

en remarquant ensuite

que

la

dérivée

peut s'écrire

nous plaçons, sont du degré o. De variable ne désigne pas le même u variable u divisée par v'v^- (') Monatsberichte der Bertiiier

mênie, les qui figure di

Akademie,

fonctions inspu, r

nais bi

en H, dnu, ofl la en cette dernière

■— ~ 6 ^,1 OÙ Ton peuL remplacer -r- par sa valeur tirée de la

dernière des équations précédentes, on voit que l'on peut écrire

les trois égalités

ijl = ^ Sî ±\ J- ±] ^ l ±\ L] .

p"- 6 au [p' ^^3] 6 J!( Ip' I

Si donc on considère une expression quelconque de la forme — /(p), oii/(p) est lin polynôme en p, on voit, en supposant elfecluée la division de/{p) par 4p* — g^p — 5"!! et en se rappelant qne les puissances entières et positives de p sont des fonctions linéaires de p et de ses dérivées par rapport à u (n° Mi), que -7j/(p) peut se mettre sous forme d'une expression linéaire

, ,, à / J àp\ à r i dpi

en p, p', p', ... el en ^ (^ ^ j , ^ [^ ^J , expression qui

s'intégrera immédiatement. Nous appliquerons cette remarque à

la dérivée ■ ■■ ,, - - de ^: en mettant celte dérivée sous la forme

" /(p) et en suivant la méthode précédente, on trouve

d'où, en observant que, après l'intégration, les deux membres doivent être des fonctions impaires de h, en sorte que l'inlégralion n'introduit pas de constante, on déduit, après avoir multiplié

On intégrera «ne seconde fois, ci

a appliquanl

t au terme p% du sé-

cond membre la règle d'intégra

tion par par

ries, ou plutôt en se

servant de l'identité

{PQ'=P'Z-^PK'=P'l—P'' = P'l- ,;P"— — '

ouvera, après des réductions immédiates.

on n'a pas fait figurer de constante pour la même raison que tout à l'heure. En intégrant encore une fois, on obtient

ï 1 Oi ''1 Ils. '

l'absence de constante résultant cette fois de ce que dans les deux membres, développés suivant les puissances de u, il ne doit pas y avoir de lerme indépendant de u. Finalement, à cause de la relation ^p-{-^'^ = —, on arrive à l'équalion aux dérivées pat-

qui était notre objet principal.

Ô-iO. Eu remplaçant, dans cette équation, d par a'a(jJ — Ca)"-, on formera une équation aux dérivées partielles que vérifiera rf^, à savoir

Pour y parvenir, on calculera d'abord la dérivée seconde, par rapport à u, de s'a ^= \/jî — e^ii ; on trouvera de suite

p — e-i H (]' — ea)^ ^ P — «hJ on a besoin de calculer aussi ce que devienl, par la substitution :' = <ï«(p-«a)"S la quantité igl~ + i2g,~; celte quantité, multipliée par y/p — e^, est égale à

la quantité | ^^ -y^- + 12^-3 -p- figure dans l'équation (()-, elle est

8o CALCUL InTÈGHAL.

égale à | p"+ 2 ij'i^ — Ç; les relalioos

(CXl.V,) -r^ =

se déduisent aisément de l'équation \eXcalcul facile donne (')

agi

on n'a plus qu'à substituer, dans le premier membre de l'équation (XCII) du miméro précédent, préalablement multiplié par \/p — Sa T l^s quantités

par leurs valeurs; le résultat, si l'on remplace rfapari^arfH, devient

. ■ !■ . ■ 1 dîtf, dfa ''3'ï , , ,' Cl- ■

une fonction linéaire de -r-r ' -^ — > 1^ et de rfa: le coeilicient àu^- àg-i agi

de rf(n diminué de ^ ((^, se présente immédiatement comme une fonction doublement périodique de u\ celle-ci, si on la décompose en éléments simples, se réduit à la constante Ba', on est ainsi parvenu à l'équation annoncée.

Observons, en passant, que l'on déduit aisément des relations (CXLVi) les suivantes

641- A l'équation aux dérivées partielles (XCII) qtie nous velons d'obtenir pour la fonction rf(«; j^o, ^j), adjoignons l'cqoaion du Ijpe (S)

^r , et? „ (>?

Halphen a donné, dans son Traité des Fonctio. ressantes remarques sur celte opération.

ÉQUATIONS Ai;X BÉUIYÉES PALITIKLI.ES. Si

qui résulte de l'homogénéité, et résolvons ces deiis équations par rapport à -T— f -T — ; nous obtenons ainsi les relations (CXLVli), L'équation aux dérivées partielles (XCIII) obtenue au numéro précédent pour la fonction a'a(«; gn gs) et l'équation du type (h) {[ue vérifie cette même fonction, toute pareille à celle que nous venons d'écrire pour rf, fournissent de même les relations (CXLVL). De même aussi, en adjoignant à cliacune des équations (i), (a), l'équation aus dérivées partielles du type (b) relative soit à la fonction p, soit à la fonction ^, nous aurons deux groupes d'équations du premier degré d'où l'on pourra tirer les dérivées par rapport à g^, gs des fonctions p, Ç; le lecteur trouvera leurs expressions dans le Tableau de formules {CSLVlo-,).

^Ëï

i2. Les- expressions ((jXLV1,,) de ■;?-=. —■; -^, -^•, -?fii, se déduisent aisément des formules (CSrjVI,a). Les formules (CXLVIs o), qui sont dues à M. Hermite ('), en sont une conséquence immédiate,; il ne faut pas oublier toutefois, en établissant ces formules, que si l'on désigne par u l'arguinent des fonctions \, celui des fonctions sn, en, dn est u y'e, — e^ et dépend donc de gi el de g^.

643. Il est aisé de déduire des formules (GXLVIj,) les expressions des dérivées de «„, 'in par rapport à g.)., g~,. Si, en effet, dans p' u et dans I^h, on remplace u par une fonction de g^, gs, les dérivées partielles par rapport à g^, g^ des fonctions ainsi obtenues seront évidemment

, au <} dp „ au à dp Ou ùt ou t)^

'''' 'dgi'^àuàgi' ''* 'àgs'^à^àgi' "^'''Fs'^^' ~^<'^~^^'

où-T*-i ■■■iT^ conservent le même sens crue dans les éqiiadgt agi I ^

tions précédentes. En supposant f(--=Wa) en tenant compte des

équations (CXLVIa-.i) et de ce que j>, p', p". p'", Z, se réduisent

respectivement alors à e^, o, 6ei — — > o, ■/!„, on trouve sans peine

(') Journ.de Crelle, l.ii, p.a'|8. VoirsusiiilEiEn, Jouni.de C relie, t.56,p.3ai.

]ns rclalions (')

(CXLVj) {

6M. On voit que <!)„, ■/ii, considérés soit comme des fonctions de g'-j, soil comme des fonctions de ^3, vériHent un système d'équations différentielles (ordinaires) linéaires et homogènes du premier ordre. Chacune de ces quantités vérifie donc une équation différentielle (ordinaire) linéaire et homogène dn second

(') ne

le

(xm,)

n tire aisér

«ent les saiva.te^

ou négatif rarient les dans les pi pir iodes.

le

âa nbre

réel enb

a a g en u p et pos es pa

fs d

, sont réel 't S, fixe ont les dé le, de que

et g. ïarii Ile façon t

nt que Q able. dans rapport ù ■arie le re

est positif , quel sens g, figurent ctanglc des

n ème set

qu

l'au 0» 530

. Le rapport -^ ou

^.lorsque

g-i croit de 3^ j,, a u-, d m nue de + co à i, ou eroit île i\ 1, suivant que g^ csl positif ou négatif. Les valeurs limites se déduisent des expressions de x, x' au mojen de t, en remarquant que, d'une p^rt, g, étant un peu plus grand que iy gl, 6] est voisin de e^ ou de e„ 1 est voisin tle ou de 1, suivant que l'on a g.^ J o, et, d'auvre part, que, §■, étant voisin de -i-«, les racines e,, e^, e^ sont res-

» Ç <o; W|, 10, ont le même sens qu'au n° 565. Le rapport -;

'—, ;i lorsque g, croit de — ic à i'i/gl., croit de i i -1- ce, ou décroit de i à o,

suivant que l'on a g'jgo. Pour ce qui est des valeurs limites, on les obtiendra en se reportant au n° 565 et aui formules (CXX,), en remarquant, d'une part, que g, étant voisin de — w, la racine réelle e, est petite, tandis que le eoeflicient de t est grand et positif dans e„ grand et négatif dans e„ en sorte que '/ est voisin de ^, el, d'autre part, que, g^ étant un peu plus petit que i^g\, te eoeflicient de i est petit dans e, et dans e„ en sorte que le coefficient de 1 dans x est très grand et négatif ou positif suivant que l'on a g'a J 0. Le rapport considéré est égal à ^/î ou à -p, pour g-j = o, suivant qiieg-jcst positif ou négatif, comm<? il résulte aisément du n° 551. Il est égal à ■ pour g-, - 0.