ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAUTIKLLES

ordre. Le caractère de ces équations el la propriété de leurs coefficients d'êlre des fonctions algébriques de g^-, gs, ne sont pas altérés si, d'une part, on cliange de variable indépendante, la nouvelle variable étant liée algébriquement à g^, gs, et si, d'autre part, on multiplie soit Wa, soit -/i^, par une fonction algébrique de ^1,^3- En multipliant ainsi Wa,-/-,^ par des fonctions algébriques homogènes de gag^ qui soient respectivement des degrés — i, i, el en prenant pour variable indépendante une fonction algébrique homogène x de g^^ g, qui soit de degré o, on voit que les fonctions A, B de degré o, qui remplacent Wai 'la) vérifieront un système d'équations différentielles linéaires (ordinaires) du premier ordre de la forme

où f, Q, B, S sont des fonctions algébriques de la seule variable x, comme le montre immédiatement la considération de l'homogénéité. Chacune de ces fonctions A, B vérifiera une équation différentielle linéaire (ordinaire) du second ordre.

Les renseignements qui précèdent et la remarque que l'on a faite au n" 638 suffisent pour former les équations de cette nalure. Pour a; =: A'"-', A =^K, B=^E, on obtient ainsi les relations linéaires (CX-LVfl); des relations analogues pour -j-p-, ^ - vj - s'en déduisent par le changement de A* en k''^. On retrouve de cette façon l'équation du second ordre (CXLVj) que vérifient K et K', équation qui a joué un rôle capital dans le Chapitre VU, et, d'autre part, l'équation (CXLV3) que vérifie E; celle que vérifie E' s'en déduit aisément. Si l'on pose

on obtient de même les roilations (CXLA'c.,) ; l'équation que vérifie a est due à M. Bruns.

64S. Les équations (XCll) du n" 6W permettent évidemment d'obtenir les dérivées des quantités g^, g^ par rapport à w, , 1D3, et l'on pourra ensuite remplacer les systèmes d'équations où figurent les dérivées par rapport à «, ^2, g^ par des systèmes d'équations

84 CALCUL INTÉGBAL.

OÙ figurent les dérivées par rapport à n, wi, (1)3, Pour les fonctions homogènes et de degré o, on pourra introduire, aii lien des deux variables <i>), to^, la variable unique t=:~i et l'on prévoit ainsi le lien des équations (XCIT), (XCIII) que vérifient les fonctions d, dx, avec l'équalion

(XGIII)

-ir.i— =a

dn n" 166 que vérifient les quatre fonctions S.

O^G. L'équation aux dérivées partielles obtenue pour la fonction rf jouit de propriétés importantes ( ' ) sur lesquelles nous ne nous arrêterons pas. Nous nous contenterons d'indiquer l'usage commode qu'on en peut faire pour obtenir les coefficients du développement en série entière de la fonction du.

Comme d(u; g-i, g^) est une fonction (transcendante) entière de ti, g-i, g% son développement est de la forme

où a, p, y sont des entiers positifs ou nuls ; les coefficients Ca,p,Y ont des valeurs purement numériques qui dépendent de ces entiers. De ce que la fonction d{u; g2,gs) est homogène et de degré i, on déduit, en lui appliquant la formule (b), que les trois indices a, p, Y d'un même coefficient Ca,p,Y sont nécessairement liés par la relation — 4* — 6p + y — 1 = 0; il en résulte que, si l'on met le développement cherché sous la forme

et si, pour la commodité des calculs ultérieurs, on met une fonction entière de gn, g^ sous la forme

où a„i^,i est un coefficient purement numérique, m et 11 (') Voii- WEiEK3iRAas, foc. cit.; Halphen, tome l, page ôog.

ÉQUATIOSS AtX MniVÉKS PABTIIiLLES. 85

entiers positifs Oii nuls qui vérifient la condition 2m-|-3/î^v. L'équation (3) fournit d'ailleurs immédiatement, pour le calcul des polynômes Av, la relation

àg^ 3*^= '>^3

qui, sachant que l'on a (IX,) Ao = i , A, :^ o, permet de t aisément ces polynômes; en y faisant

,■ prend la forme un peu plus simple

àx ■ "

! servir de 1

a relation

iG{<i + l)«,„

qui en est une conséquence immédiate. On retrouve ainsi les nombres qui figurent au Tableau (XCII), nombres déjà obtenus (') au n" 407 par un procédé moins rapide.

L'équation ans dérivées partielles (XGIII) permet de même d'obtenir les coefficients du développement de rfaH. Il convient toutefois de l'écrire autrement en y faisant figurer la dérivée partielle -r-^- Dans l'équation envisagée les dérivées partielles sont prises en regardant c'a comme une fonction de u, g^, g^ ; si l'on regarde dg. comme une fonction de ri, g^i gzi ^a., on devra tenir compte de ce que Ca est lui-même une fonction de g^, gs, et l'on aura, en désignant par (g^). (0^), (g) les dérivées parlielles de rfa, prises dans cette nouvelle hypotbèse,

(') On trouvera dans les Formules, e que M. Schwarï désire par a,,, „ soni