CALCUL INTÉGRAL. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

En remplaçant dans l'équation (XCIII) et en se rappelant que la quantité -, l'équation

(S'a esl une série entière en u dont les coefficients sont des polynômes en g-i, gs, Ca qui peuvent être ramenés à ne contenir e„ qu'au second degré, au moyen de l'équation /j e^ — ^j ea — g^ = o, en sorte que l'on peut poser

oii fli^,',ni ^inU' "^1"," ^°"' ''^^ coefficients purement numériques comme il résulte de l'homogénéité. On trouve sans peine, an mojen de l'équation précédente, les relations

iJé-2 i^ àg-3 (>

qui, sachant que l'on a (XIt),

^--"^ àff, ■ 3»^ à^:

A„^ I, Bi, = o, Cu = u; (Vi =i>, Bi = - i, Ci =^ïi permettent aisémeut Je calcul des polynômes Av, B-,, Cv

TABLEAU DES FORMULES

XCÎ.

weloppeii

de pu. at

del

^lû

-h Vi lÛ -+■

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■iKi.

îï.ï!

^9<fU>

•.5>.7.ii.i3.i9^.j'.7".i3.J9

ga ^ 9 7^j^j

38 9^i^. ; 3..<i-.rrf'.

" 2".î',S<.i32.,7^,,i,;2.i,.,i32.i7.,9^ j«. 5, 71.132, ,9 (,- - 3) {.,.r + 1)0,,=, 3[c,c,^,+ ce-, H.- ce-, .(-,,.+ c..-,c,] pour ,• > 3.

Développenieut de tf u en série.

, drf dj-

Jl(2 3 ®' d^3 ^ d^,

yGoosle

XCII (suite).

ùf' 3 "'*''-■■

A, = -i8j.,jr,. A, = Sji -iiS^Î, A,= -^2s,.^.,

[«3,0 = 3.23, «0.! = — 3.3], «1,1=3=. 19, [«i,o= 3.io7,«,,s = 2'.3.23],

[«a,i = 2«.3'.3ii, «0,3 = 2'. 3. 23], [«5,0= 3^.7.23. 37, «s.j = 2i.3s.5.53],

[«0,0= 3^.313. 5o3, «3,1 = 2>.32.5.37.iG7, «o.i = 2'.3.5'.3i].

xcm.

Développement de r^a" ê" série.

=-,,.^2(-*'+"'«"^<=-«S)fST!'

^ ^'^ flo-." "^'

Ao = i, A, = o, Aî = ^S Aa.= ^, Ai ^ — 5-?-, 3o=o, B, = -i, Bs-^o, B,=. — i-'?% g 3.i3ffa

iiAv-1 i ^ dA.^-, (y — i )(-.j'< — 3)

CAl.CliT. INTÉGRAL.

XCllI (siiitk)-

Développement de X(H,iin) i^" série.

^0 = 1, a| = o, aa = ~pi(i„ 03 = — p u,, Sj = — jp2„^+ . ^^^ a^ = .,p,(„p „„, «5= — ^p'k» — ^îpuo+ -;^g-i, a- = — 3p=«oj)'((„ — 3^2j)'«o;

où l'on a r<- ui ofi t,, l',, ..., t> soni-tlonnés pai- le Tableau (XCI).

Développement en séries des solutions y de l'équation dif/érenlieth'

«, eu supposant a ^ b -\- c = n,

y = [ H- (Ai'J -^ A^") I^J ^-. . .- (Ai;« + Ail'^, --...-.- \!,">) "^^-^ -h. - ..

sont des solutions de l'équalioii différentielle, si l'on prend pour les coefficients A les valeurs qui suiveni.

XCY (suiTi^).

■' = a*.3».5aa, A^j" = 2'. 3. 5. 711^6,

"=^2.7.i3a6= + 2i'.3'.7aî(î, Alj^' =^ 6^ ^ 2^,3. u oie;

'' = 2T.3».5.7<iS A^*i = 'ie.33.5.7a>6,

'> = a>.5.^iaô3-i-s5.3s.5aa26c, A'o*'= è'+2'.32.i7«62c-M'.33.7aVs

" = 2s.3*.5î.7a», Ai5'==2''.3".5^7.i[«i&.

" = 25.3s.5.7.u!aa63 + 3T.3'.5.7.iia'c,

>'=^-',».3.:i.i[.aa7<iî6'-!-2«.3».S.it.i3aS6c,

" = 2.11^610*»-+- :?,*. 3s. 11. 139a' 62c + -J-. 33.7.11^0:^ ci,

si:= AS + 2!, 3.46e a63c-^ 2^3^307 a'ôcî;

" = 2'^3».5^7.Ila^ A';«>= 2».3*.5^7.ii.;3a56,

" = a».38.5.7.it.i3aîo-4-i'. 3a. 5.7,11.13. 43a* 6',

,s> = 2».3*.5.ii.i3.53«*ôe-+-a5.32.5.M.i3.479«>6>,

i" = 2«.3*.73.ii.i3a'ôïc-h2î.3*.7.ii.i3.(7a'c>+3>.3.7.ir.(3.«3in2 6i,

i6i = 3i.32.5.7.i3.i37aî63c4-26.3=.5.7.i3.io3«=èc!-+-2^5.7.i3.73aè^

«i = &=^;-2î.3.i92.a3«6*c-4-a*.33.i9.499a265c2 + 26.3*.7.u'a'cS.

,«+ii = (2,.,)2™AW, + (2.>^i)=6Aîf"+(3^-+2)(2^--[-3)cA;«>,

r=5..{iO-

^yrr. (Inu,

3ea

XCYT.

Valei'i-s pour u = o des dérivées de sn«, cni!, (In«.

'(0) = 1, - sn''(o) = 1 + /:S snW((,) ^ , ^y. ,ik'-+k\

sni"

>{<,) = i-i- jMIfl -^ mk'-+ k'^.

sn'>

l(o) = i-i-i328Àî-H5478A'>-l'i2a8;t« + ^',

su''

' (o) = ; + IIo69A:2-^- 165826 ^'4- i658a6/:s + 11069A' -1- /:"",

) (0) = 1 -H9964'-iA= -s- 449435: A' + i3i8oa68A'

snl

^Ho) = 1 -!- 896803 /cs + 116294673 A* + 834687179 ^«

-f- 834687179^8+ 116294673^'° -H B968o3/ii^-)-^-i'.

cn''(o) = — I, cn*'v)(o) = i__ i)v[, -^. A^'A' + A*^* k'- -h...-+- Aïl/'^-^],

Ay' = i; A'i^' =4; A'j^' = 44, A',3' =16;

A'," = 408, Aii'i = 912, A'a'» = 64 ;

A'iS' = 3688, A'î^' = 30768, A'/' = i58o8, A'i" = a56;

AV' = 298932, Ay'= 22945o56, A'3'" = 106923008, Ay = 65oo88g6,

. JL3(,); €} = îzii = ,6(;.

Dérivées de p « Yi ?"" = ?'« —

Il fond ion linéaire des pi

ÏAB1.KAU DES FORauLES. 93

XCVII (soite).

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