oe„( A^»i )sj2 + Tao( A\PI )3J
(3)- Si p est une quelconque des solutions de l'équation pv = , on n
^ — - "" ~ ^"^ [l0gtf(«^<.)— IO'V3-(tt->0-'^-"^''
TABLEAU BES FOEMUi.HS. CI!
Si y est soluiion (le l'équaiîoii cliiïémuielle (^V- ay'- + fy' + c. l'ii a, en pi>sant J„ — j j " du,
.«)!«-W,. î;^ + Bï« ^^ ^... + B;i.i, $: + BS»J„
-4-01a"J.„+.- ^^,„, ^P', ^„„^, H-.,.4-p„.., ^^^ +ti„ J, Voir le Tableau placé à la lin des formules (XCV).
RM) == 6, IÎ7» = — 2.3*. B'a'' = 3'6» — 2î.3ac, B',»' = — 3,76,
Bi,ii ^ 22.3,76, B'ji*^— 3^3>.7<ic + 2.3.7 -I76',
= — .i.3ïa9é'-i-'2'.33.59flie, 6'," = — î3.3'.ô'.7(î&*(;-^ft^3^.5.7a!c=-i-3!.52.:
lii"t=Bi"-'i-(an — i)îèB'/ii"-(-i« — 2)'(-ï7i — 3)(an-0«cBi^lV',
(/■ = o,i,5., ...,/i); Bl„"> = i, Bl;" = o poiii- r<o et pour r ■> n.
p(jîi = a*.7Sèî — 9.8.3.700, P'/' = — 2S.3!6»-+-a".3.i3nic,
^i,ii = as,3.56, §<," = 2*.3.7.i365-:i*.3^7«c,
-s'.S.^iôs + af.SS.S.iidôc, p'j*' = ii'.3!6* — ai».3''.i7«6îc + 2'.3^7V
(,- = o,T, 2, ...,«); tilj"' = '. 31."'=-o pouiw<o etpour ;■>«.
pi*) = '2i3.3î6'c4-ai.3.5iaci;
fUi^tydu =
,«(1.)^.. = -j-L-.^, loE [«,ji(iO + A?-»r S.|i(»)]. /"?„. (■')*' = -'^^'
CALCUL IMÉC.nAL.
y"u(»)ÏPï(»)<'"=l»sî.i(»), /'£.p(«)S,p(«)'''' = È.s(»).
J^ï = ?""î — Si; — j ïïT,-; - ip '°i: — s;^;
HUI-KAl DUS FOIIMl'I.KS.
CKV (suite).
l Cil II dn II du -- inu. 1 =: / du -h 1 da,
r- — — / ~— du -+- k^ I d'i. f : — ■-—■,-; / -—du — ttî / -, — -''"
j '"-" ''" ^ /,! ^ ^°' - ^ eu) ' j ^« - "^ ^■">- ïûjr) •
J dnti ~ ^-2 " ' ,/ cni(dn« k'^ "ciwt
/ °" " du = bs ^!^ . / — du = log ■ — -
J sn«dn« ilnîf J su « ciut en «
/■siiK , r tin» fcnii . dnu
y — -— du = 1 / j-i— du ~-= — y;; -5 >
J Sïi^ît suit J dn^M AS dnij / -7—.— dti ■= -, . ( — i— au -^
(i.VlXlL JNTfiGRAL.
CXVT.
J snil-snii„ H, " + ""9,^'^'
En donnaiu à la consianle «odes valeurs convenables, on parvient à dus formes iiouvel)es|Wui- des intégrales antérieuL-eiiienl calculées (CXJrii.CXV).
Si Ton désigne \>ar y —/iu) l'une quelconque des fonctions E„a((/),
?«»("). ?Py(")' ^""' ""'*' '*""' P*"' "" ""^ consianie, par jo, /i, j'J, ...
la valeuc pour u ~ u^ de la fonction /(m) et de ses dérivées, enfin par a,
h, c [Tableau XCV] les coefficients de l'équation différentielle
que vérifie la fonction /(il), on aura, quel que soit n.
J [/(»)-/lB.)l"
DES FOnXULES.
a, p, a', p' étant réels; i\ s, v sont des entiers donnés: r et s son miers entre eux, sauf dans la formule (6). Le chemin d'irtégrati supposé ne contenir aucun pôle de la fonction sous le signe Ç; m s' sont des entiers déterminés par les conditions
m<^<m-i-i, ii<p<K-H[, N<pr— ïî<NH-i.
>'<(p-fi')r-(a-a'}ï<N'--,.
Dans les formules (i) et (à) le logarithme a sa détermination ri .?i^ Sm "o, "Il <* sont réels. Dans la formule (6), log tfw est défini ■ une fonction holomorphe de u, le long du chemin allant de u\ à ii\, au chemin d'intégration donné.
I l6 CALCUL INTÉGRAL.
CXVIU.
Cas normal oh 4 est réel el positif.
Si le cliemm d'intÉgvatiou ne son pas du rcclangie àonl lus sonim sont '^^ — ^^-^> on a, en désignant par rj| le nombre de Cois que l« clieii d'intégration traverse de haut en bas, par Nj le nombre de fois qu'il t
verse de bas en haut le segment de droite allant de o à 1 et en p
nanl pour los3i(c) sa détermination prinnipalc,
Si l'a est un point du segment de droite allant de ■ à
point excepté, et si l'on prend le signe supéiieur ou inféii'
que la partie réelle de -. est positive ou négative, on a
Si v„ = i-t- pn:, où a, ^ sont réels, 3 non entier, et si le nombre . ;icr II est déterminé par les conditions « < ? < k -l- i, on a (GXVII,)
Si Vit est un point du segment de droite allant de. ' ù ■', I
point excepté, si l'on désigne par « la partie réelle de Hn, et si l'o
prend le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que v est positif o
CXVm (suite).
Si m, n désignent des nombres entiers et y, p des nombres vcri
ï différent lîe zéro, — i<aSi, i<p<l,
et si i!„ ^ m -f- HT -i- H -h pT, on a, en prenant le signe supérieur rieur suivant que a est positif ou négatif,
t positif, f
Si m, n désigni les conditions
férieur suivant que a' est positif ou négatif, on a, en prenant pour yaritliioe sa détermination principale,
yGoosle
I toujours le point nitti
■/. n'est ni un nombre réel négatif, ni un nombre réel plus grand que i. Dans ce qui suit, v/x, \/i — vc, /i — it sin2t|i désignent les déterminations des radicauTt dont la partie réelle est positive; y''*! v'"' — ''- les déieriiiinalions des radicaux dont l'argument est compris entre — -; et - ; logx un nombre dont la partie réelle est le logarithme népérien de |'.c| et dans lequel le coefficient de i est l'argument de •/. supposé compris entre — -
la partie réelle de -: est toujours positive.
On entendra par ^Jf., ^t.' les déterminations de ces radicau'i. <lont Ili partie réelle est positive.
Si a, rf sont des entiers impairs, b,c des entiers pairs tels que ad—hc — \ .
Si (I, 1); r, d oat la même signification et si ayant ri\c ailiittaii'enieni une des tiéterminations du /ôi — £3, on pose
T.\n[,EAL" DES FORMULES
CXIX (suite).
'L U(H)J 'rU(x).|
^-^feVH'^^]^:
v/iô^
l/ïl — E3 v'-i — ^3 v'^i — îj
/e, — e,i = /il — :j, /ei— es= i/sj— 2al^' — "i \/eî — «^ = — '1/^1— îj/x; V^ei— ej ^ î/îi — îs, i/ci— es = v''6i— Sj fi — n, {/ej — £3 = i/ei — s, y'''-;
llaiis les Tableaux suivants on suppose tU], ojj, \/wi déterminés parles formules (9) ; \/îi — ij est fixée arbitrairement à moins qu'on ne prévienne
ment, de /'T^^s-
l^ans les funiiules (i), (a), (3) on suppose ;k|<[; ceue supposilinn vriiiter\ieiiL pas Jans les foimiiles {/]).
(0- En pusani
et en désigiiain par A, B tiens constames arbiiraii'es, la solulion générale (le l'équation
où le logarilhmc a sa (Itlermiaatioii principale.
).(>.)^,- i|oE(,-,.)-.(>;), l.(/.)|< jl«|;
x'(i-«) = x(^), x'(^)-x(~J:^)-,'7^rT:,[,.(,,, + , -,(>..)],
X'(V^) -X (;) - /;[x(>)H:ix'(«)],
ok il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que la partie réelle de -r est positive ou négative. Pour deux valeurs conjuguées de K, les valeurs de \{y.) sont conjuguées, les valeurs correspondantes d et sont représentées par deux points symétriques par rapport à l'axe des quantités imaginaires.
mbre positif et si | / [ < i, oji a, en posaiU q = n
■).!'. Ci = 6ï57 , ■ï'^-Cn =ïi355o67o3 , ■i2".eii= [0293 , 2". c, — 776957570 ,
■1.25. Cl = '279025, 3". Cii = 224 170^5555,
.j,26 c8 = -183127. a*'. 012 = 40784671953; Cf. T. III, p. aai, note.
,so(;y:)",-,.
j.„(ip)V,
x(^) = ^'(î)= i &Ko|0 = i,S5.îo75: -/=<.-" = 0.04321;!,);
t (e~^) = 1,54369+ i.c,4i3fi3 nWîl
, ,^ 7=.±(e •- = + i.o,oR5R29
Dans Loules les formules de ce Tableau on prendra ies signes siipéi-ieuv iiii inférieurs suivant que )a pariie réelle de 4 est positive ou nôgaiivt
Dans les formules (4), logQ a sa détermination principale.
