V. 1 VI
Valeur de /ËT-^s
VïT^'^sv'^^
Valeur de i/hî-Lj Valeur de i/^T^!
-V-^,-=./i-^- d:v'^i--sv/.— /.
<Ve,-../-^ 1 «V^,-.»
Valem'sdeEi,Es,E3
'-!, ïa. ^1
^3, 55, Si
CXXII (suite).
La jiavtio réelle des radicaux qui figurent ilavis li^s foniiuirs ?ui\ (isi positive; \/t — i = 1 1/' — '•"■
Si X est dans la région II, on a 7 = — o, i"i -- s^i- w^ - i!z h, ■
On peut d'ailleurs employer les mênics formules que dans le c «SI dans la région I.
Si X. est dans la région III, on a q — e'^' , (uj = £!i :':i2'i, 0)3 = Sia; Si K est dans la région IV, ou a ? = i; ' ' , u)i= iij, oi^ — — tii it Hj:
CXXll (stlTH).
s,(Jj,)„.-¥/;„?-'î.<,|,,.
Si •/. C5l dLins la riigion V, ow a <^ == e ^,(01^ sij, wj ^ — si 3,(ï[,).-^V"''^3,(.iT), ^.(î|')"«"''V»«^S.(Hi),
Si /. est clans la légioa VJ, on a ç =6-'-', i^, = - '.ï^+ a,, w, ^ On peul aussi, quand K esl dans la région VI, appliquer les fm
120 CALCUL iNIÈGHAL,
CXXIl (su(te).
(ro).
Dans le cas où x est très pelil on peuL faire usage «les relations siiîvunies, obtenues en négligeant x^, et dans lesquelles, si l'on se donne seulement X, on prendra pour \fz\-~Z3 la valeur que l'on veut, par e\enipie le nombre i. Les logarithmes qui figurent dans ces formules sont les déterminations principales.
lin négligeant y.* on a de même
s, (. h) -«*(. + !). in..; 3.(.l,)-.
,n(„..) , , /..„,/, M„. cn(~,>0
ÏAIILBAD DKS FORMULU
CXXIT (suite).
t très voisin de i, on fait de ii
j(«i«.„».).^^(. + |).b(.").^'^iï,(»>„».)=[i+^!f<=...)]r
laS CALCUL IMÈGnAL.
cxxm.
Si il, ;,, t, soiU donnés, on prendra
sitiC \i/i,~'.i\ et l'on inentlia
TABLKAU I>RS FORJIIîr.rs.
CXXIII (suite).
Srs{c|T)= ^^'(COS;)!^ +ç5cos3„^ + ^Gço55cTt+-/15cOS7li
■I,(.)-S.(^). 6,(.) = a.(Ji)i 1 H(») yT^^H|[«) ,,„.,., 7'''(">
.-„ o-.(..i„, „.) = ?iM^>,.»,„..
1 a-,(>-|^) i. -i ra'. (»l') l
l3o CALCUL TNTÉGHAL.
Cas oà t], Sa, Sj sont réels; si >£îâo > ïj; f?>o; ïaSo; (j > o. Si î,, S;, Ea Ëonl doiinés{si + ï3-+- î3 = o), on prendra
Si l'on se donne seulement ■/ ~é -ji on fixera aibitraircment le rombre ^aiilif (si — îj) el l'on prendra
l^ = - (i + 'iQH- ■(O*^- îO^-^. ..)% x'o Xo logo,
TABLEAU BES FOflMULES.
CXXIV (soite).
l,i0l[!h(«.i)-<l'>k(3»ii)-K!',h(5«..t)-<,l>ih(7».,)+. 2QÏ [ch(wTC) + Q'ch(3(VTr) + Q«cll{5(i'Tt) + lï'ï.ch(7H'TL) 1 . I + 2Qch(lK.Tv) + 2Q*ch(4<flc) + 2Qaob(6H.Tr) + ..,,
I — 20ch(2«'Tt)+ 2Q'ch(4WTl} — 2Q' cll(6lVTl)+...,
îTTO^fehf^ir) — 3g'ch(3«'iT)-!-5Q'ch(5ivTt) — 7oiîth(7.<'j
li/ll-
H(u) = e '/te
wIt), 8,(1.
S, lu ».(»
^o-sCmISi, Û3) =
= ^,(«ltil,ii,,) = = j,(i.|a„ii.) =
' a',(0|T) Sl(olT)
a,(0|TJ
a,(o 1 1) aiC'»iT) a,(i«|i) %l
CALCUL IKTÉGRAL.
aSo, b>o, f.âo, g<o.
Si El, £2, 63 sont donnés (ej-M- Sj-i- ij = 0), on prendra
Si l'on se donne seulement x, on Osera arbitrairement le nombre positif b et l'on prendra
On forni
-j; tel que l'on ail
l, = :uns|H-,(!..nE|)'H-,5(!.,nE|)V,5.(li..s|)"
-;iv/? p'°'::T"-" -
>/s-Ii/ï;i,
où le logarithme est réel.
■ÎT.H 0' , ^ 0^ . 3 Q' I 1= ' 5T(olT)
Ha = -
TABLEiC DES FORMULES.
CXXV (SCITP,).
^^--=|\/;[^h ^' î^^^'-'^-li/^^
^.-E,^1/.b|"', {/i.-K, = lî/.Bl/»
^^^■-^-|\/;i^h' î'^-'=' = li/5
|t) = 2Q*[cOSC^-HQÎCOS3l>TT-t-Q»COS3f)T:-i-0'^COS7
[T)=l + 2QCOS2P«+2Q'COs4<'Tr+aQ9C0s6pTI-l-..
]t)= (— 2QC0S21'lt+2Q'C084CTr — 2Q'cos6yTi+..
iT)^2itQV[cosyT:-3oîcns3<'Tt^-5Q' 00351-1^-701^0
(Ht) (•|t)'
A^o, B>0,y,So,g<o.
5i z, , ^,, ,, .ont donnés (., + ;, + ^a = o), on prendra
Ej — El l 3 4 .
et l'on prendra
On formera su a tel que l'on ait
lu logaritlime est réel.
■J i3fi, ^;(olT)
TABLEAU DES FORMULAS.
CXXVI (suite).
/bî— Kj = I /iB I e ',
au™
Sic.-»
ao'^ [ch(wjc) + Q'ch(3wT:) -H Q»chC5w'iu) + Qi3ch(7 «■«)+...] [-^aQcli(a<VTr) + 2Q^ch(4ii'ii) + aQ9ch(6ii'it)+...,
l — 2Qcll('2 11'Tr)-f-2Q'ch(4(VTt)- 2Q» ch (6 IV IT ) + . . . ,
= ïa(«|n,,S3)-
3,(ii.
Hfl
CALCUL ISTÉGIIAI.,
Si l'on se donne deux nombres z i\ k luis quu [ A' | < r, ] ^3 | < i, on satisfera à l'équation
,n(„,A)„=, en posant
et où l'on a fixé arbitrairement celle des deux déierminaiions que l'on ■veut de v^i — s', puis celle des déterminations de log(t3 + <J\ — z^j.
Si l'on se donne, en outre, l'un des deux nombres z' tels que l'on ait a'2 ={i — z'K' — k^z"^), la valeur de m, calculée au moyen de la formule précédente, satisfera aux deux équations concordantes
,Ual,u, k)
pourvu que, ayant fixé \/i — A' 3' par la condition que sa partie réelle si positive, l'on choisisse pour s/ 1 — z^ la détermination -t=^^^ •
Si l'on se donne deux nombres s 61 k tels que \k\ <,\ , | ^ | > i , on saeq.a.on „{u,k)«^,
où l'on a fixé arbitrairement celle des deux déterminations que l'on veul de4 / I — -jx-i> P"'s celle des déterminations de 'ogl ir--'-i/ ^~Ti'~;]'
DES rORMUIES. 137
CXXVII (sum).
(a) [mil.].
Si l'on se donne, en outre, l'un des deux nombres s' lels que l'on ait 3'» = (i— zî)(i — i'ss), la valeur de «, calculée au moyen de la formule précédente, satisfera aux deux équations concordantes
pourvu que, ayant fixé t/i - ~ par la condition que sa partie réelle soit positive, l'on choisisse pour 1/ 1 — yr— - la détermination — — — •
On donne i>, 1,, Sj, sj et l'on suppose
i/i — K a son argument compris entre — y e' ** —
ndésignanlcelle des déterminations de n = ^i — '■■l/'[ ^^ dont la partie
réelle est positive; les déterminations de v/s, — sj, yT— a', puis celle de log(a + iVr^^) sont fixées arbitrairement.
Dans ces conditions, on satisfera à l'équation
iVh~h\'->-V'-—'^)
,/e,tj(n.{/fI7^)'\ ' ' 3 * 3.5 ^■^ '^S.S.? '"^ "7'
l38 CALCUL INTÉGRAL.
CXXVII (suite).
(3) Ira.ï.].
Si l'on se donne, en outre, l'un des deus oombres p' tel que l'on ail p'' = 4p' — ■yjp — fsi 1" valeur de u, calculée au moyen de la Tormule précédente, satisfera aoï deux équations concordantes
par ■gai à
pourvu que, ayant fi^é /i — p's^ par la condition que sa partie réelle
t positive, on prenni
(iWIEaOzJ!i!5.
(,,„)(,,.) ,^/,-^rpi
Ul,
V ou VI.
h-li<.,
Valeur de X.
,'."i7-.rr
ValeurdcH^
Ssr"'-
Ls»parlLosféeM«
Valeur de R.
(p — Eï)(P — Î3
(P-e3)(P-ïi)
CXXVIII (suite).
On donne £i, ;;, £3, '(i, fs, p, v' tels que
Pour déterminer une valeur de u vendant les dent équations eoncordantes
P("; Ys' ïî) = P- P'("i Tî. ïa) = P'.
on formera d'abord les quantités )^, tlj, p, R d"après le Tableau précédent j puis les quatitilés pu, So, '-(PJ). B,-o, Su au moyen des formules
H'-X . ' ' - n- >,.., , I Vr i-3.5...(av-i) 1'a,,
s, = S(ï,) = B„i.+ ;B,,jî + ^
Si, en formani S», o.i s
(B+,)!i/(4»+>)«;(i-iiiii)(i-iP!»îi)
arquera que X(pJ) peut auîsi être calculé au moyen de
par la formule Ceci posé, on a
„ ^^(p^-)iog(s„+tV7^^) a /r^^ S„
ip /=! - î, (I + X)' p l/^i-'3 (■ -t- X)'-
pourvu que l'on prenne pour /si — s,, v''' — ^l ^^^ déternilnatior racines pour lesquelles on ait
où la partie réelle de /i — PJ^J est positive.
l4o CALCUL IMÈGHAL,
Cas où -(s et -j-j iont réels.
{')■ Si l'on est dans le cas du Tableau (CXXIII), on conservera aux quar tilés p, q, q'', x, x', tOi, ijij, t, T],, 1^3 la signification adoptée dans ce Ti bleau, et l'on appliquera les formules (CXXVIII) qui correspondent au c: où -A est dans la région I. La quantité ^g est alors égaie à ^ et est compri: entre o et j-'„; on prendra pour /ei — Sj sa détermination positive et W
Si p est réel et plus grand que ei, sg est réel et compris entre — [ et + S désignant l'unité positive ou négative suivant que v' est négatif ou p silif. on prendra pour 6 une solution des deux équations
et l'on aura une holulion réelle des deux équations concordantes
par la formule
^S(cosO).
' ll^^,-
mr S{s„) ei
: terme dans S{cos6), l'ei
sera moindre que —
Si l'on est dans le cas du Tableau (CXXlVj, on conservera a
tités Poi 0, Q*^, Xu. xJi, £ii, Q3, T, H], H3 la signification adoptée Tableau, et l'on appliqnera les formules (CXXVIII) relatives au est dans la région V. On aura
TABLIÎAU DRS FORMULES, l4'
CXXIX (suite).
(ï) [suite].
Si p est réel et plus grand que s,, z^ est réel et compris entre i et 5- 011 prendra pour la solution réelle des deux équations
où S est égal à -M ou à — 1, suivant que p' est négatif ou positif, et l'oi aura une solution réelle des deux, équations ooncordantes p{u; -/j, fa) — i" p'{u; Yi, fa) = p' par !a formule
i-ant que deux termes dans S(eh9), l'ei
Si l'on est dans le cas du Tableau (GXXV), on consei-vera aux quantités A, B, '!', ?oi Q' Q'j "(1. ^'01 ^i> ^^3' T, H|, Ha la signification qu'elles onl dans ce Tableau, et l'on appliquera les formules (CXXVill) relatives au cas où X est dans la région III. On aura
T, p„ = aangî, X(PJ) =
Si p est réel, plus grand que Sj, on calculei réels a, 3o, 0, w par les formules
'ilv Sini| 277
= cot 1 tang Q
'" MO ^ rO =
Dans ces formules, 5 désigne est négatif ou positif.
I^a CAF.GIJL INTÉGRAI,.
CXXIX (suitk)-
Si 1-on est daiiB le cas du Tableau (GXXVI), on conservera aux quantités », n, f , po, Q, o', Xo, sô, Sli, lia, t, Hi, Ha la signification adoptée dans ce Tableau, et l'on appliquera les formules (CXXVHI) relatives au cas où k est dans !a région IV. On aura
.ng?, Xi?l) = icos^l\^^
Si p est réel, plus grand que îj -l — -. — > on calculera successivement les nombres réels a, z^. 6, ii par les formules
,l/.ic,
Si p est réel, compris entre ej et sj -i- -,- - . c les nombres réel^ a, s^, 0, k par les formules
/ïi"
» 1 l/« I cos> î
Dans ces formules, S désigne l'unité positive ou négative sui est négatif ou positif.
TABLEAU DES FOliMULF.S.
INTÉGRALES ELLIPTIQUES
^3 ET g3 SilNT DES NOMHiiES récls.
Cas où e,, ei, Cj Jon( /'ée/s; ei > ej > e,.
Cf (CXXIir), (CXXIV), (CXXIX,-î) en supposant êi = ei, e, = : ?~ = ï!, ^3 = -f3, i^ = K, .-■.
-Rt
[pj^
Image de (t^j)
Dana le plan des y, les valeurs entre oroehcLs correspondcnl au plan des k; dans le plan des i( elles correspondent au plan des/.
^ = «3 + A{e, — eO; î = ea — A(e| — ea).
où u)i, (1)3 sont formés au moyen de e,, e,, Cj comme dans les formules (CXXIII), (CXXIV).
CALCUL INIÉGn;
ce (GXXV), (GXXVI), (GXSIX3,), en supposant
>2= S5, ea= îj,
Dans le plan des y les valeurs entre crochets correspondent au plai des k; dans le plan des it elles correspondent au plan des y.
