APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÈCAMQT)!!, I

plus petite que — l; puisque ig^o + /' est positif, 3, dans le premier cas, oscille entre ^ ei — — : le mouvement est alors, comme on sait, oscillatoire ; dans le second cas, z est compris entre l et — ^ 1 le mouvement est tournant. Nous excluons le cas où, h étant égal k iglf l'intégra tiou peut s'effectuer par les fonctions élémentaires; dans les autres cas, z peut toujours atteindre la valeur /, et nous conviendrons de prendre l'origine du temps à un instant où 3 est égal à /.

653. Pour ramener l'cquatiou différentielle à la forme normale nous ferons la substitution

elle prend alors la forme

les racines e,, Uai e,, supposées telles que l'on ail Ci > e, ><îi, correspondent aux. quantités ~ l, — ■ — ■ > / rangées par ordre de grandeur croissante, puisque ^ et Z varient en sens contraire; dans tous les cas / correspond donc à e,. L'intégrale de l'équation différentielle est

en désignant par X la constante d'intégration; pour t ::= a, z doit être égal à ^ et z à ej; X doit donc être congru à Wa, modulis 2o>(, awjî rien n'empêche de supposer À -~ us, ee que nous ferons dé-

Pour aller plus loin, il convient de distinguer les deux cas. i" Mouvement oscillatoire. — On suppose

en se rappelant que Z est égal à p[t -!- Wj), en utilisant les

174 FONCTIONS ELUPTIQUBS.

formules (LIX), (LX), (LXI) et en posant pour abréger u = t\J\^

vî = .,^'3 H- /, = 4A>^;cu'H, V = 2^V?^ci.u;

pour déterminer le signe de la valeur de x, ou a fixe !e sens des x positifs de façon que V(, soit positif; h est la racine carrée positive de k".

Si l'oQ désigne par B l'angle que la tige du pendule fait avec la nadirale, eu sorte que x soit égal à /sinO et s à /cos&, les formules précédentes fournissent immédiatement celles-ci :

sur lesquelles le caractère oscillatoire et les propriétés de symétrie do mouvement se lisent si facilement qu'il nous paraît inutile d'j insister: notons seulement que les positions les plus basses du mobile (s =; /) correspondent aux instants

que les positions les plus hautes f ; == — --• j correspondent aux instants

en désignant par n un nombre entier, que la durée d'une oscillation complète est

que 1 angle entre la nadirale et la lige du pendule dans sa position

APPLICATIONS A l.A GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. 175

la plus haute n'est autre que la valeur a de pour w zz^ K; on a donc (LXXII)

Pourles applications numériques on utilisera les formules (CXXIII) ou (CXXIV) suivant que h est négatif ou positif. Si h est très voisin de — igl ou de + ^gl, on pourra se servir des formules (CXXIl.o) ou (CXXIÏ,,).

2° Mouvement tournant. — On suppose

puis, en posant cette fois on trouvera

Le caractère loarnant et les propriétés de symétrie du mouvement se lisent immédiatement sur ces formules ; la durée d'une révolution complète est donnée par la formule

FONCTIONS BLLIPTIQ

§ V. — Pendule sphérique.

634. SoienL j>^rcosH, j^=:/-siQ9, s les coordonnées d'un point pesant assujetti à se mouvoir sur nne sphère de rayon l dont le centre est à l'origine des coordonnées ; Taxe des z est dirigé suivant la nadirale. Soient V la vitesse du mobile, g l'accélération de la pesanteur, c et h les constantes des aires et des forces vives; les intégrales des aires et des forces vives

dt dt^ '

et i'ér[uationde la sphère /■- + 3^ — ^^ fournissent uninédiatenieiU la relation

dont nous désignerons, pour abréger, le second membre par «(3)- Convenons d'affecter de l'indice o les valeurs des variables pour ( ^ o. Excluons le cas où c serait nul, le mouvement étant alors le même que celui d'un pendule simple, et le cas oà ç (so) étant nul,5o serait racine double de iy(s),le mobile décrivant alors d'un mouvement uniforme le parallèle sur lequel il se trouve d'abord. Dans le cas général où nous nous plaçons, «(so) est positif ou nul et, s'il est nul, cp(î) est positif pour des valeurs de t un peu plus grandes que o; la substitution dans f (s), à la place de s, des nombres — <x>, — l, Zt,, /, +co montre ainsi l'existence de trois racines réeiles a, b, c placées comme l'indiquent les inégalités

l'une des racines a, b pouvant être égaie à r„- De l'identité

on déduit d'ailleurs les relations

a-\- b -\- = — - — 1 ab -h bc -i~ ca = — /-, abc = ■ •

■iff -ig

Comme a el ù sont compris entre — / et + /, l'expression

APPUnATIONS A LA GÉOMÉTHIE ET A LA MÉCANIQUE. I77

— ah— P, donc aussi (c( + b)c, esL négative, en sorte que, c étant négatif, on doil avoir ( ' )

6o5. Dans récjiialion différenticlie que vérifies, faisons la substitution

de manière à obtenir une équation différentielle de la forme

(J)'-4='-ir.i-(r.= i(î-«,)(i- <■)(!-«.).

les racines e,, e^, e^, supposées telles que l'on ait e.^ ^ e-, >■ 63, correspondent respectivement à e;, h, «, puisque 5 et z varicnl en sens contraire, et l'on a

L'intégrale générale de l'équation différentielle est

'k étant une constante arbitraire. En prenant, pour origine du temps, l'un des instants où le mobile est sur le parallèle z^a, on a

on en déduit que p()>) est égal à 63; X devra donc être congru à wj (mot^H/is 2(0j, aiDj) ; nous prendrons X = W3. La solution de l'équation diffcreritielle en z est

(') Voir poui' la discvission, la Traité de Mécanique de M. Appel!, 1. 1, p. !fi3.

17» FONCIIOKS ELLIPTIQUES,

6S6. Avant d'aller plus loin, il convient de faire quelques observations concernant les données. Si, outre g' et ^, on regarde s,, ou a comme une donnée, les deux constantes A et C ne sont plus indépendantes et l'on doit supposer c^ égal à /'^vj, c'est-à-dire à r\l^'iga + h), d'où

sous le bénéfice de cette supposition, l'équation 9(3)^0 admet la racine a; en la débarrassant de cette racine, on trouve, pour l'équation que doivent vérifier 6, c, l'équation

dont on aperçoit de suite que les racines sont réelles et séparées par le nombre — a; mais a devant être, par hypothèse, la plus grande racine de f{z), on doit avoir

le cas limite oii C^ serait égal à ^^ correspondrait au cas limite où a serait une racine double. La quantité G, que l'on peut évidemment supposer positive, peut prendre toutes les valeurs de

roi/- à-l-ac; toutes les constantes du problème dépendent alors de C. Une discussion élémentaire montre facilement que C augmentant de ri (/| à -h 00, 6 décroît de « à — a et c de — "^ J^^ à — co; /(= z^ '■—--- croit de zéro jusqu'au maximum ^ "— — ~

qu'il atteint pour G = {/— ' P'^''^ décroît jusqu'à zéro ;

Ketg varient dans le même sens que k-, Kde - à -' etç de o à o; K' varie dans le sens contraire de -!- oc à -H to. Le sens de la variation de

avec G n'apparaît pas immédiatement; mais il est clair que lorsque c

.vrPLlCATIOKS A LA GÈOJSÉTltlE T.T A T,A MÉCANIQUE. 170

a dépassé la valeur 4/ — — , Wi décroit et tend vers o quand

C augmente indéfiniment ; au reste il est aisé de trouver des limites supérieures de to, en se servant par exemple de la relation K < -^ (n- o38) ; on trouve ainsi

Lorsque k- est très petit, c'est-à-dire lorsque C est très voisin de ou très grand, on peut se servir des formules (CXXII).

«37. On |jeL

(L écrire aussi