Les valeurs

ainsi

trouvées

pour z sont

■éelle., quand

tvarie<le-«à+»

. Qua

nd le poin

t ( parcourt

dans !e sens direct le rectangle dont les sommets sont o, m,, <i)| -f- (1)3, (1J3, on sait que p l varie en diminuant constamment de + 00 à — ûD ; on conclut de là et des formules précédentes que s va en diminuant constamment de a((=:o)àZ>{ï=:(ij,), puis à c{ï= W) -+-£1)3), puis à — co(i^tD3); là 1! passe brusquement de — t» à -r 00 et revient, pour î =3; o, à la valeur a. Les mêmes résultats peuvent d'ailleurs se lire sur la seule formule

en suivant le chemin que parcourt le point /+ Wj, ou le point i— W3 qui fournit pour l la même valeur; dans ces conditions j)(i -H (1J3) va constamment en augmentant, en passant toutefois de -|- 00 à — 00 quand ( atteint la valeur W3. il suit de là que z atteint les valeurs — l,+ ^pour deux points t-^, (j situés le premier

l'IlQUIiS.

entre (0, el (l

,, +w„lc second enlr

■e M, el (L), ;

on

a, en ces deux

points t,, Ci,

/-l-fl =

-k-^Ggl

658. Ces valeurs i, , (o vont Inlervenir dans le calcul de 9, et il importe de donner le moyen de les calculer avec précision. Observons que l'on a, quel que soil i.

et que ^(s) se réduit à — C^ quand on suppose t égal à t, on à t^; on a donc, pour ces valeurs de t,

d'ailleurs quand t décrit le segment toi . . .(o, + w^, p{t -y- wg) va en augmentant; si donc on pose pour un instant i =: wi-t- iX, la dérivée, par rapport à la variable (réelle) \ de la fonction (réelle) p((ù, + Wa + Xi) sera positive pour les valeurs de X comprises entre o et -^^; on aura donc

ip' {h + •-■>,) ^

et, pai de mê

P'îh-

Onaainsi tout ce qu'il faut pour appliquer les formules (CXXVIII) et calculer, si l'on se donne les éléments numériques du problème, les quantités (, + coj, t^ -\- wj à des multiples près des périodes, c'est-à-dire, dans le cas actuel, sans aucune ambiguïté.

6o9, Remarquons, en passant, que les deux valeurs i, +(1)3, ■ — l-, — '.■)î font acquérir à la fonction p' t la valeur -^; la fonc-

APPL1CAT10^S A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. l8l

lion j)'( — ;^ est une foocLÎon doublement périodique de i, du troisième ordre, avec o pour pôle triple; la somme de ses zéros devant être congrue à la somme de ses pôles, on en conclul que son troisième zéro est t-^ — t, ; en d'autres lermes, on a

On peut évidemment poser i^ ■ — t^ =^ (o, + û., 'k étant une quantité réelle comprise entre — -^et-^; la formule précédente montre que )> est positif: en effet, la dérivée, par rapport à la variable (réelle) X, de la fonction (réelle) jj{u)| + iX), c'est-à-dire ip'(wi H- iX), est de signe contraire à \, puisque jj(to, + A) décroît quand X

croît de o à -4 et croit quand A croît de ^ à o; or, d'après ia

formule précédente, i p' {ai , -ir iX) , c'est-à-dire ip'{l.2 — 'i)i ^^* négatif. Ainsi /, c'est-à-dire -v ((^ — (, — ■ (o,), est compris entre o

11 va sans dire que l'expression de J>'((2 — '0 aurait pu être déduite, par les théorèmes d'addition, des expressions de ji(ii+ 103), p(iaH-(i)j), j>'((, -l-tos), p'(ii-l-<ii3). Voici quelques formules obtenues par celte voie cl qui pourraient servir pour le calcul de (, , 4 '■

660. L'expression àep'{t, + i^) montre queï,-!- t^ a la valeur w, pour hP=^ C^, c'est-à-dire pour C- = -^/^r^, valeur dont on reconnaît de suite qu'elle est plus grande que la limite inférieure de G^ et pUts petite que la valeur de C^ qui rend k'^ maximum. Pour cette valeur particulière, on se trouve dans un cas signalé par M. Grecnhill, où les formules se simplifient notablement;

(I) Les valeurs des fonctions sn, en, dn,pour les valeurs Atv qui covrespondenl à ( = (i ou i = i, se déduisent très facilement des eipressions de s — a, « — è, z — c, et l'on a, dans tout ce qui précède, tout ce qu'il faut pour la détermina-

l82 FONCTIONS ELUPTIQUES.

d'abord b csl nul, en sorte que le mobile reste compris entre l'éqiiateiir de la sphère et le parallèle s ~ a; on a ensuite

Lorsque C^ csl compris entre -^rj et -o-/^/'"^, b est positif et ip'[tf-{- t^) est négatif; c'est le contraire lorsque C dépasse - gl.^ r\ '• on a, suivant les deux cas,

661. C'est surtout en vue de la détermination de (ou de x^y) que nous avons calcolé les valeurs de ^((i + Wj), Ji'(ii -f- Ws), ■■■■ On a

dt " n-^z^ ^ Ti Ir^ "^ "/"Tl } '

d'où, en tenant compte des formules

z + ^ = (i + «) + (^ + «) = -^[p(' + ''>.)-jH', + "'0],

qui résultent immédiatement des valeurs de / — «,/ + «, = ^ «, que les précédents calculs mettent en évidence,

et en décomposant en éléments simples, ou, ce qui revient an même, en utilisant la seconde formule {CIII,), les expressions de p'{t^+ (.j„), p'(/2-|-(Ù3), ainsi que les formules (Xlt^,;^),

En intégrant et choisissant la constante d'intégration de façon que s'annule en même temps que (, on a

yGoosle

AFPLICATIOKS A LA GÉOMÉTRIE ET A H MÉCANIQUE. lS3

d'aillciirs, à cause des expressions de l—z, ^-H; que l'on a écrites plus liauLet des formules (Vlti), on a aussi

■.il-^)(t + ^) =

OU, en extrayant les racines carrées et choisissant le signe de façon que l'on ail r = r^ pour t^=:^o, 6^0,

662. Celte formule montré que x -}- iy et, par suite, x et j- sont des fonctions univoqucs de t. La forme même de s: + *y montre qiie c'est une fonction doublement périodique de seconde espèce ; c'est le produit d'une esponentielle par la fonction

dont les muItipHcateurs [a, , u.3 relatifs aux périodes 2 n), , 2 103 sont respectivement

On pourrait prendre pour l'élément simple relatif à la fonction a;: + ly la fonction

et transformer l'expression de s; + ^y en 'a décomposant en éléments simples (n° 367).

Nous nous bornerons à quelques remarques relatives à la fonction ç((), qui ne sont d'ailleurs que l'application des observations faites au n" 372. D'après ce qui a été dit plus liant, i, + l.^ est de la forme ii>( + aws, œ étant un nombre réel compris entre o et 2 ; si l'on considère la fonction doublement périodique de seconde espèce

yGoosle

l84 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

on voIl de suite que ses muUiplicaleurs, relatifs aux périodes ?.m, , aws, sont respectivement e~"™', e™; si, par conséquent, a est de la forme — . /> et ^ étant des entiers premiers entre eux, ['['(i)]^' sera une fonction doublement périodique ordinaire ; il en sera de mémo de l'expression

que l'on pourra obtenir sous forme explicite parla métliode de décomposition en éléments simples; elle admet le pôle unique (03, d'ordre de multiplicité 4g. Comme on a donné plus haut l'expression de p{t, -4- (2), d'où il est aisé de déduire celle de p{a.w^), on voil le moyen de déduire l'équation algébrique que doit vérifier la constante C pour que a ait une valeur donnée -. de l'équation algébrique que vérifie p ( - wj 1 . équation algébrique qui sera étudiée plus lard. Nous nous contenterons de ces indications sommaires sur un sujet qui se rattache d'ailleurs à la théorie des intégrales pseudo-elliptiques, que nous n'avons pas abordée; le cas simple où a=;i sera traité explicitement un peu plus loin (').