En posant

de façon qne les quantités réelles /■,, r^ soient positives et plus petites que —.1 les formules de passage des fonctions d aux fonctions ^ fournissent immédiatement les formules

OH l'on a posé, pour abréger,

i ls,(.>,)^3.(.>,)J

{ ' ) Voir Greenhill, Les Fonctions elliptiques et leurs applications, trad, par Griess, Chap. III; uoiV aussi, pour le cas où = 1, le Traité de Mécanique rationnelle de M. Affell, t. I, p. ^94.

APPLICATIONS A LA GËOHËTBIE ET A L\ «ËGANIQUE. t85

On peut faire sur ces expressions de s — a et de x-\-iy, qui spécifient !e mouvement du point x, y, z et fjui sont appropriées au calcul numérique quand on se donne les éléments numériques du problème, quelques observations faciles qui se feraient d'ailleurs tout aussi bien, le lecteur ne l'ignore pas, sur les équations différentielles du mouvement.

L'expression de s — a montre que les valeurs de a se reproduisent quand on remplace v par c -i- i ; dans les mêmes conditions « + îJK se reproduit multiplié par le facteur e'*, ainsi qu'il résulle des formules (XXXIV) ou de ce que l'on vient de dire sur le caractère de la fonction x ■+■ iy; lorsqu'on a la position M du mobile à l'instant t, il suffit donc, pour obtenir sa position à l'instant i + 2ti)), défaire tourner le plan MO s d'an angle égala A autour de l'axe Oz; la péi-iodiciié du mouvement est ainsi bien mise en évidence et il est clair qu'il suffira d'étudier le mouvement de i = o à (:= 2W|. Il suffit même de l'étudier de ( = o à ( = (D) , car à deux valeurs de ( égalemenl éloignées de u, correspondent deux valeurs de c de la forme ^ — w,~ + w, dont la somme est égale à i, et, par suite, les valeurs de z que l'on obtient sont manifestement égales, tandis que les valeurs Aq x + iy s'obtiennent en multipliant un même nombre

les deux positions correspondantes du mobile sont donc symétriques par rapport au pian qui passe par l'axe des z et k position M, que le mobile occupe à l'instant (i=w,, (u^i). Ce point M| est la position du mobile pour laquelle z est minimum ; ses coordonnées sont données par les formules

' * + '^-"3Slo)3,(.V,)î',(m) le coefficient de ô ^ ^ ' est manifeslemenl positif : c'est le rayon

par deux nombres imaginai

res eonjugnés

IB6 FO1NCTI0N9 ELLIPIIQUES.

vecteur /■, de la projection du poinlM) sur le plan des xy; il est facile de vérifier qu'il est égal à <i/l'- — b^.

L'expression àe x -\- iy met eu évidence que l'angle polaire de la projection du point Mi est, à des multiples près de 2tc, égal à T. + 4a, en sorte que la courbe décrite par l'extrémité du pendule est fermée, ou non, suivant que -A est un nombre rationnel ou irrationnel. On verra plus loin que ■re + ^ A est l'angle dont tourne effectivement le plan MO s autour de l'axe Os pendant que ; croît de O à (i)|, et non cet angle augmenté d'un multiple de au; mais ce qui précède suffit à montrer l'intérêt qui s'attache à la constante réelle A dont il convient de dire quelques mots.

QQA. On peut mettre A :

.|7: ^ 1 — ^.,(/5(^-l chi!Tr/-j

a form

-yi—

| çV,.-".

7"i et r-, sont positifs et plus petits que A; il en résulte que dans l'une et l'autre des séries chaque terme est positif; r^ étant plus grand que Ti, on conçoit que A soit négatif, et c'est un point que Halphen a établi par une analyse intéressante que, toutefois, nous ne reproduirons pas en raison de sa complication (' ). Chacune des séries regardées comme une fonction soit de ;■, , soit de r-^, la variable étant supposée comprise entre o et — .- est une fonction croissante : cela est évident pour chaque terme de la première et se vérifie sans peine pour chaque terme de la seconde; il résulte de cette remarque que l'on a

Sr;(»-|)

(') Après Halphen, M. de Saint-Germain a obtenu le même résultat sans faire usage des fonctions elliptiques; il a, en effet, mootré [Cf. Note sur le pendule iphérique (Bulletin des Sciences mathématiques, a* séi'., t. XX, p. ii4)l que l'angle dont a tourné le plan MOj autour de Os quand ( croît de o â ui, est plus petit que ;[ ; on va voir que cet angle est égal à ^ -h a ; de sa démoiistratiou résulte donc immédiatement que a est négatif.