APPLICATIONS

11 sérail intéressant d'étudier comment A varie avec !a constante C dont dépendent /■, , /-^ et q.

Signalons quelques autres expressions de A. On a

1 ^'Air, + ir,),

la seconde de ces formules qui, seule, a peut-être besoin d'explication, a été déduite de la première en remplaçant dans la première des formules (Vil,) i( et a par t, H- "Ja, (a-f- Uj et en utilisant les valeurs préalablement calculées de p{it-\- w^), p'(î,+ Wj),

663. Dans le cas particulier déjà signalé au n" ()60, où on a tout d'abord

et le fait que A est négatif apparaît bien facilement en se servant de la relation K<; -^, qui donne

L'intérêt de ce cas particulier consiste en ce que l'on y peut obtenir séparément les valeurs de x et de y. En remplaçant, dans l'expression de a; + iy, ir^ par ^ t — ('/■, , on trouve de suite

'^v-'.' au.) s,(.>.)a.;.>,) ■

iSb VOKCTIOSS ELLIPTIQUES.

en appliquant ensuite la première formule (LVIi) el les formules (LXXI), puis en posant pour abréger

on oblienL

^+ij = ,-„e;u+>r,.[cn(3Ki.)+,>sn(.2KOdn(aK,.)],

ou, puisque A el \>. sont réels,

En faisant p ^^ dans ces formules et en se rappelant que pour celte valeur s est nul et ^x'^-{-y- égal à /, on trouve sans peine

el c'est ce qu'il n'est pas difficile de vérifier, d'ailleurs, sur l'expression même de pi,

668. Il nous reste à étudier, dans le cas général, la façon dont 6 varie avec t. De l'expression de e^''^ donnée an n° 661, on déduit aisément, au mojen des formules de passage des fonctious t aux fonctions &, la formule

où l'on a posé, pour abréger,

S,("-i + 05iC»>ï+'') %{irt + ^)%{^-

dans cette formule qui donne, à chaque instant i, l'angle 9 dont a tourné le rayon vecteur dans le plan des xy, il s'agit de fixer, pour chaque valeur de c, la détermination du logarithme. Nous nous j arrêterons d'autant plus volontiers que la même question se présente dans un très grand nombre d'applications.

Pour suivre la voie régulière qui a été indiquée au Chapitre VI el qui permet sûrement de lever ioute ambiguïté, il faut tout d'abord transformer l'expression de -j- de manière qu'il n'y figure